L'ensemble Q a été défini par Peano, il vient de l'italien quotiente (la fraction). Il définit l'ensemble des nombres rationnels (exemples : -3 -2,5 0 1,25 1/3 2,666). Le nombre peut être décimal limité (3/4 = 0,75) ou périodique (2/3 = 0,666...). Z est inclus dans Q.
Les nombres rationnels incluent l'ensemble des nombres entiers et l'ensemble des nombres entiers naturels. Cependant, contrairement aux nombres de ces deux derniers ensembles, les nombres rationnels peuvent avoir une partie décimale non nulle.
Symbole. Le symbole Q désigne l'ensemble des nombres rationnels. Tous les nombres naturels, entiers et décimaux sont des nombres rationnels.
Q est l' ensemble des nombres rationnels , c'est à dire représentés par une fraction a/b avec a appartenant à Z et b appartenant à Z* (qui permet d'exclure la division par 0). Les ensembles N, Z et D sont inclus dans l'ensemble Q (car tous ces nombres peuvent être écrit en fraction).
L'ensemble des nombres rationnels est noté ℚ. 2 ∉ ℚ. L'ensemble des nombres réels est noté ℝ.
Les nombres naturels, représentés par N , regroupent tous les nombres entiers compris entre 0 inclusivement et l'infini positif. On utilise parfois l'appellation nombres entiers naturels pour désigner cet ensemble. Les nombres naturels représentent tous les nombres entiers positifs.
Notion de nombres rationnels
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'un quotient de deux nombres entiers, c'est-à-dire sous la forme d'une fraction. 425, 1 3 \frac 13 31 et 618 sont des fractions.
L'ensemble Q a été défini par Peano, il vient de l'italien quotiente (la fraction). Il définit l'ensemble des nombres rationnels (exemples : -3 -2,5 0 1,25 1/3 2,666). Le nombre peut être décimal limité (3/4 = 0,75) ou périodique (2/3 = 0,666...). Z est inclus dans Q.
L'ensemble ℚ
C'est l'ensemble des nombres rationnels. Un nombre rationnel est, non seulement, un nombre décimal relatif, mais peut aussi être un nombre qui peut s'exprimer avec le quotient de deux entiers relatifs. Le dénominateur étant non nul.
L'ensemble des nombres réels est noté R. Les réels non rationnels sont appelés irrationnels. Tout nombre rationnel est un nombre réel ; R contient Q.
Symbole. Le symbole R désigne l'ensemble des nombres réels. Tous les nombres naturels, entiers, décimaux et rationnels sont des nombres réels.
Les nombres irrationnels sont infinis et non répétitifs, tandis que les nombres rationnels sont des décimales finies et répétitives. Voici quelques exemples de nombres rationnels: Le nombre 9 peut être exprimé par 9/1, 9 et 1 étant tous deux des nombres entiers.
Un nombre entier peut toujours s'écrire sous la forme d'une fraction dont le dénominateur est 1. Tous les nombres entiers sont donc des nombres rationnels.
Les nombres entiers, représentés par Z , regroupent tous les nombres entiers positifs et négatifs. On utilise fréquemment l'appellation nombres entiers relatifs. On peut voir l'ensemble des nombres entiers comme l'ensemble regroupant les nombres entiers naturels (N) et leurs opposés, les nombres entiers négatifs.
N'importe quelle fraction peut représenter un nombre rationnel. Le nombre 1015 est une fraction qui est équivalente à 23. L'expression 43 représente un nombre rationnel. Le nombre décimal 0,75 est aussi un nombre rationnel puisqu'on peut l'exprimer sous la forme du quotient de deux nombres entiers, soit 34.
On désigne par ℂ l'ensemble des nombres complexes et par « i » un élément de ℂ tel que i 2 = −1. Tout nombre complexe z s'écrit de manière unique : z = a + ib avec a ∈ ℝ et b ∈ ℝ.
Le plus petit nombre entier n'existe pas. En effet, les nombres entiers sont les nombres entiers relatifs, qui incluent les nombres entiers négatifs, jusqu'à la limite de l'infini négatif. En revanche, le plus petit des nombres entiers naturels est 0, et le plus petit nombre entier naturel non nul est 1.
Pour savoir quel est le plus grand nombre rationnel parmi cet exemple et 2/3, il faut réduire au même dénominateur. 35 × 3 = 105 et 2 × 69 = 138 ; donc 2÷3 est plus grand que 35÷69. Addition : Ajouter deux fractions rationnelles consiste à réduire les deux fractions au même dénominateur puis à ajouter les numérateurs.
Tous les nombres entiers sont rationnels. avec des nombres rationnels produisent des nombres rationnels. son développement décimal1 est périodique2. décimal ou toute autre base.
L'inverse de 4/5 est 5/4.
Un nombre irrationnel est un nombre réel qui n'est pas rationnel, c'est-à-dire qu'il ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction ab, où a et b sont deux entiers relatifs (avec b non nul).
Ils sont donc tous les deux divisibles par 2 et ne sont donc pas premiers entre eux (car ils ont un diviseur commun différent de 1 et −1). Ceci est une contradiction (étape n°2). Ainsi, √2 ne peut pas être un nombre rationnel ; c'est donc un nombre irrationnel.
Pi est un nombre irrationnel (c'est à dire qu'il s'écrit avec un nombre infini de décimales sans suite logique). Les premières sont : 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582.
c) 5/6 est le nombre qui, multiplié par 6, donne 5.
La construction formelle de cette ensemble est de nouveau obtenue par Dedekind (1831 − 1916) et la notation Z (du mot allemand Zahlen signifiant nombres) est popularisée par le mathématicien polycéphale Bourbaki (né en 1935).