Une racine évidente est un nombre simple dont on calcule rapidement l'image par la fonction polynôme, cette image doit être 0. Une racine évidente obtenue, on trouve facilement l'autre racine par identification des coefficients de la fonction polynôme.
Soit vous appuyez sur la touche résol puis vous optez pour le choix 2 (PlySmlt2), soit vous appuyez sur la touche apps (c'est-à-dire 2nde puis résol) puis PlySmlt2 dans le menu qui se présente (il peut s'agir du choix 8 ou 9 selon les versions). Ensuite, choix 1 (racines d'un polynôme).
Théorème (admis)
Si un polynôme P de degré 3 admet une racine réelle α , alors ce polynôme est factorisable par (x −α). on a alors : P(x) = (x −α)×Q(x) où Q(x) est un polynôme de degré 2. Utilisation : Le polynôme P(x) = x3 −4x2 −7x +10 admet comme racine évidente le nombre 1.
Le principe général de calcul de racine est d'évaluer les solutions de l'équation polynome = 0 en fonction de la variable étudiée (où la courbe croise l'axe y=0 zéro). Le calcul de racines de polynôme passe généralement par le calcul de son discriminant.
Dans l'équation « 0x = 0 », toute valeur de x est solution ou racine de l'équation. L'équation « ax + b = o » où a ≠ 0, ne possède qu'une seule racine, soit x = – ba.
On dit que a est racine d'ordre r de A s'il existe un polynôme Q tel que A = (X a)rQ avec Q(a) 6= 0. Autrement dit, a est racine d'ordre r de A si A est divisible par (X a)r mais pas par (X a)r+1. Une racine est dite simple si elle est d'ordre 1, double si elle est d'ordre 2,. . .
Le signe de Δ indique le nombre de racines réelles : si Δ > 0 , alors il y a deux solutions réelles distinctes ; si Δ = 0 , alors il y a une solution réelle répétée ; si Δ < 0 , alors il n'y a pas de solutions réelles.
3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582. Dans la pratique, on utilise 3,14 mais il est souvent aisé de retenir 22 septièmes ou racine de 10 pour valeur approchée de Pi. Les décimales de Pi ont été la proie des savants depuis près de 4000 ans.
Les deux racines distinctes sont 1 et 2. Il y a deux solutions, mais deux fois la même, on dit alors qu'on a une racine double.
Pour cela, dans le cas général, il faut d'abord calculer le discriminant Δ (delta), donné par la formule : Δ = b² - 4ac.
Si le discriminant est strictement négatif, il n'a pas de racine carrée réelle et donc l'équation n'admet pas de solution réelle.
La forme ax2 + bx + c est appelée la forme développée de f. On admet que cette forme est unique. Soit a, b et c, trois réels où a ≠ 0. Cette forme est appelée la forme canonique du polynôme.
- Si Δ > 0, alors l'équation admet deux solutions réelles notées x1 et x2. On a alors : x1 = (−b − √Δ ) / (2a) et x2 = (−b + √Δ ) / (2a) ; - Si Δ = 0, alors l'équation admet une solution réelle double notée x0.
- Si A < 0 : L'équation ax2 + bx + c = 0 n'a pas de solution réelle. −b+ Δ 2a . a) Calculons le discriminant de l'équation 2x2 − x − 6 = 0 : a = 2, b = -1 et c = -6 donc A = b2 – 4ac = (-1)2 – 4 x 2 x (-6) = 49.
En mathématiques, le discriminant est une notion algébrique. Il est utilisé pour résoudre des équations du second degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines...).
Calculer le discriminant \Delta
On a \Delta = b^2-4ac.
Il a été sans doute découvert par des mathématiciens grecs de la haute Antiquité. Euclide (vers 300 av. J. -C.)
La racine carrée de cinq, notée √5 ou 51/2, est un nombre réel remarquable en mathématiques et valant approximativement 2,236. C'est un irrationnel quadratique et un entier quadratique.
On peut remarquer que √0=0, √1=1, √4=2, √9=3, √16=4, …
x1 et x2 sont les zéros de la fonction f. Pour toute fonction quadratique f(x) est associé un trinôme T(x) = ax2 + bx + c et une équation du second degré à une inconnue ax2 + bx + c = 0. Les zéros de la fonction f sont ses abscisses à l'origine, ce sont les racines du trinôme T(x). a, x1 et x2 pour la forme factorisée.
avec α = − b 2a et β = − b2 − 4ac 4a .
➔ Le nombre Δ = b2 - 4ac est appelé discriminant de l'équation (appellation due à Sylvester en 1851, du latin discrimen = séparation) : l'étude de son signe permet de conclure quant au nombre et aux valeurs des racines de l'équation.