Les diviseurs communs à 30 et 42 sont 1 ; 2 ; 3 et 7. Les diviseurs communs à 30 et 42 sont 1 ; 2 ; 3 et 15. Déterminer les diviseurs communs à 20 et 82. Les diviseurs communs à 20 et 82 sont 1 et 2.
Indiquez tous les facteurs pour 30,42 pour déterminer les facteurs communs. Les facteurs communs pour 30,42 sont 1,2,3,6 1 , 2 , 3 , 6 . Le plus grand facteur commun des facteurs numériques 1,2,3,6 1 , 2 , 3 , 6 est 6 .
Exemple : • Les diviseurs de 42 sont : 1,2,3,6,7,14,21,42.
Le plus grand diviseur commun à 30 et 24 est 6. Le plus petit multiple commun à 30 et 24 est 120.
Un diviseur commun à deux ou plusieurs nombres entiers est un nombre entier qui divise chacun d'eux. Exemple : 36 = 12 × 3 et 24 = 12 × 2. Donc 12 est un diviseur commun à 36 et à 24.
Exemples. Trouver le PGCD de 28 et 42 : 1.
Par exemple, 6 est le plus grand diviseur commun de 24 et 42, parce que 6 divise 24 (24/6 = 4, reste 0), 6 divise 42 (42/6 = 7, reste 0), et aucun nombre plus gran que 6 ne divise a la fois 24 et 42: 7 divise 42 mais pas 24, 8 divise 24 mais pas 42, 9 ne divise aucun des deux, ...
Méthode par décomposition
Reprenons 30 et 48 : 30=2×3×5. 48=2×2×2×2×3. On remarque que le produit 2×3=6 est commun aux deux et est le plus grand produit commun, il est donc le PGCD.
Le plus petit commun multiple de 30 et 45 est 90.
Algorithme d'Euclide
On effectue la division euclidienne du plus grand par le plus petit et on recommence avec le diviseur et le reste, jusqu'à ce que le reste soit nul. Le PGCD est alors le dernier reste non nul.
PGCD (34 ; 51) = 17, donc les nombres 25 et 48 ne sont pas premiers entre eux.
Le plus grand des diviseurs commun à 12 et 30 est 6 donc PGCD(12 ; 30) = 6. Remarque : il existe d'autres méthodes de détermination du PGCD de deux nombres entiers plus efficaces, notamment la méthode des soustractions successives et l'algorithme d'Euclide qui sont détaillées dans la fiche suivante.
25 = 5 × 5 et 35 = 5 × 7 ainsi, pour obtenir le plus petit multiple commun de 25 et 35 il faut multiplier 25 par 7. Le plus petit des multiples communs de 25 et 35 est 175 = 5 × 5 × 7. Corrigé exercice 115 : 1.120 = 5 × 24, donc 120 est un multiple de 24.
Le plus grand de ces diviseurs est 18. On note : PGCD(72, 54) = 18.
Le plus grand d'entre eux est 12. On l'appelle donc le plus grand commun diviseur(P.G.C.D) de 24 et 36.
d = PGCD (42 ; 60) = 6
D.
Les nombres 12 et 20 ont donc trois diviseurs communs : 1 ; 2 et 4.
Diviseurs de 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 et leurs opposés. Diviseurs de 60 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 et leurs opposés. Diviseurs communs de 24 et 60 : 1, 2, 3, 4, 6, 12 et leurs opposés. Le plus grand de ces diviseurs est 12.
Exemple Les diviseurs de 48 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 16 ; 24 ; 48 . Les diviseurs de 72 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 9 ;12 ; 18 ; 24 ; 36 ; 72. Les diviseurs communs à 48 et 72 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 9 ; 12 ; 24 .
b. Les diviseurs de 63 sont : 1, 3, 7, 9, 21 et 63. c. Les diviseurs communs à 42 et 63 sont 1, 3 7 et 21.
Par exemple, le PGCD de 16 et 24 est 8, car il s'agit du plus grand diviseur commun entre 16 et 24.
Cette méthode consiste à diviser simultanément les nombres dont on cherche le PPCM par des diviseurs premiers. Le PPCM sera alors le produit de ces diviseurs premiers. Attention, la méthode est légèrement différente de celle présentée pour le PGCD.