a) Le P.G.C.D de deux nombres est le plus grand entier naturel qui divise les deux nombres. Exemple : Recherchons les diviseurs de 78 et de 208. Les diviseurs de 78 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 13 ; 26; 39 ; 78.
1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 et 72. Les diviseurs de 54 sont : 1, 2, 3, 6, 9, 18 et 27. Les diviseurs communs à 72 et 54 sont donc : 1, 2, 3, 6, 9, et 18.
Grâce au crible ou tout autre moyen, listons les nombres premiers plus petits que 200 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197 et 199.
« 8 » est un nombre composé, ses diviseurs propres sont 1, 2, et 4.
Voici tout la liste des nombres premiers jusqu'à 100 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. 1er cours offert !
Les diviseurs de 72 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72.
Remarque : Le nombre 1 n'est pas premier car il n'a qu'un seul diviseur.
Le nombre 78 (septante-huit ou soixante-dix-huit) est l'entier naturel qui suit 77 et qui précède 79.
78 est-il un nombre composé ? Oui, puisque 78 a plus de deux facteurs, c'est-à-dire 1, 2, 3, 6, 13, 26, 39, 78. En d'autres termes, 78 est un nombre composé car 78 a plus de 2 facteurs.
En énumérant les six premiers nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11 et 13, on voit que le 6ème nombre premier est 13.
Afin de déterminer tous les diviseurs d'un nombre, on s'aide de sa décomposition en produit de facteurs premiers. Soit D\left(n\right) l'ensemble des diviseurs positifs d'un nombre n.
Le nombre de diviseurs d'un entier n est le produit des puissances apparaissant dans sa décomposition en facteurs premiers, chacune augmentée de 1.
Par convention, un diviseur de 0 est un nombre non nul (et ainsi 0 n'est pas diviseur de 0) dans les cours que j'ai lus. Lorsque l'anneau (A,+,.) est non réduit à {0} et est intègre, il n'y a pas de diviseur de 0 dans A (comme R et Z par exemple) .
Partie 2 : Nombres premiers
Définition : Un nombre entier est premier s'il possède exactement deux diviseurs qui sont 1 et lui- même. Liste des nombres premiers inférieurs à 100 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 et 97.
Les vingt-cinq nombres premiers inférieurs à 100 sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, et 97.
La division par zéro n'est pas autorisée en mathématiques car elle est indéfinie. Lorsque vous divisez un nombre par zéro, le résultat est infini, ce qui n'est pas un nombre réel et ne peut être représenté dans la plupart des systèmes mathématiques.
De fait, 200 est composé et possède exactement douze diviseurs : 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100 et 200. Mais cette propriété n'établit pas un record pour lui car 60, qui est plus petit, possède lui aussi douze diviseurs.
b) 284 = 1 x 284 284 = 2 x 142 284 = 4 x 71 Donc tous les diviseurs de 284 sont 1, 2, 4, 71, 142 et 284.
Les diviseurs de 126 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 9 ; 14 ; 18 ; 21 ; 42 ; 63 ; 126.