La formule d'Euler affirme que, pour un polyèdre convexe, la quantité S−A+F, où S est le nombre de sommets, A le nombre d'arêtes et F le nombre de faces, est toujours égale à 2. S−A+F=2−2g.
Dans un polyèdre convexe, relation entre le nombre S de sommets, le nombre F de faces et le nombre A d'arêtes, telle que : S + F = A + 2.
Par l'analyse complexe
Puisque cos π = –1 et sin π = 0, cette formule est le cas particulier x = π de la formule d'Euler en analyse complexe (pour tout nombre réel x, eix = cos x + i sin x). C'est aussi le cas particulier n = 2 de la nullité de la somme des racines n-ièmes de l'unité.
Leonhard Euler était un important mathématicien et scientifique suisse, considéré comme l'un des plus grands spécialistes des mathématiques de son temps. Sa contribution majeure est « l'introduction à l'analyse des infinis », un ouvrage qui constitue l'un des fondements des mathématiques modernes.
Les polyèdres convexes
Un polyèdre convexe est un solide dont les segments joignant deux de ses points quelconques sont entièrement inclus dans la portion d'espace qu'il délimite.
Les polyèdres traditionnels incluent les cinq polyèdres convexes réguliers que l'on nomme les solides de Platon : le tétraèdre (4 faces), le cube (ou hexaèdre) (6 faces), l'octaèdre (8 faces), le dodécaèdre régulier (12 faces) et l'icosaèdre (20 faces).
Un polyèdre est un solide dont toutes les faces sont planes et constituées de polygones. Un non- polyèdre est un solide qui a au moins une face courbe et qui peut donc rouler.
Le nombre e est la base des logarithmes naturels, c'est-à-dire le nombre défini par ln(e) = 1. Cette constante mathématique, également appelée nombre d'Euler ou constante de Néper en référence aux mathématiciens Leonhard Euler et John Napier, vaut environ 2,71828.
Il s'agit d'Artur Avila, un Français d'origine brésilienne directeur de recherche au Centre national de la recherche scientifique, de Manjul Bhargava, un Américain professeur à l'Université de Princeton, et de Martin Hairer, un Autrichien, chercheur à l'Université de Warwick en Grande-Bretagne. Un profil polyvalent.
Euler était Suisse. Je pense que l'habitude est de dire \oe lèr à la française. Cela dit, la prononciation allemande est oïleur (si on convient que oï est une diphtongue comme dans coyote). En France, on dit Gôsse pour Gau\ss\ et non Gaousse (même remarque aou = diphtongue comme dans l'anglais cow).
L'identité d'Euler
Parce qu'elle utilise 3 des opérations fondamentales en arithmétique : l'addition, la multiplication et l'exponentiation. L'identité d'Euler est considérée comme la plus belle formule mathématique.
En géométrie euclidienne, dans un triangle non équilatéral, la droite d'Euler est une droite passant par plusieurs points remarquables du triangle, dont l'orthocentre, le centre de gravité (ou isobarycentre) et le centre du cercle circonscrit.
Tracer la droite d'Euler
1) Construire: - Le centre E du cercle circonscrit au triangle ABC. - L'orthocentre H (point de concours des hauteurs) du triangle ABC. - Le centre de gravité G (point de concours des médianes) du triangle ABC. (On prendra A', B' et C' les milieux respectifs de [BC], [AC] et [AB].)
Le cercle d'Euler (1707-1783) passe par les neuf points suivants : – les trois milieux des côtés du triangle A' : B' et C' ; – les trois pieds des hauteurs hA; hB et hC ; – les trois points d'Euler eA; eB et eC ; milieux des segments [AH], [BH] et [CH] où H est l'orthocentre du triangle ABC.
Comment calculer le nombre d'arêtes d'un prisme ? Le nombre de faces latérales d'un prisme est égal au nombre de côtés d'une base. Le nombre de sommets est le double du nombre de sommets d'une base. Le nombre d'arêtes est trois fois le nombre de côtés d'une base.
La linéarisation, qui repose sur la formule d'Euler et la formule du binôme de Newton, transforme tout polynôme en cos(x) et sin(x) en une combinaison linéaire de divers cos(nx) et sin(nx), ce qui rend alors immédiat le calcul de ses primitives.
C'est pourquoi les Babyloniens, puis les Egyptiens, apparaissent comme les premiers utilisateurs de mathématiques. Le premier moment de l'histoire des mathématiques s'identifie néanmoins aux Grecs, qui, à partir du VIe siècle avant J. -C., vont faire de cette discipline plus qu'un outil, un idéal de pensée.
Al Khwârizmî est né vers 780 et mort vers 850. Malgré son utilité dans le monde des mathématiques, le savant reste mal connu.
Euclide (né en -325 en Grèce Antique) était un mathématicien grec, auteur du Traité des mathématiques qui est le texte fondateur des mathématiques en Occident.
Ce nombre e qui vaut approximativement 2,71828 s'appelle la base de la fonction exponentielle et permet une autre notation de la fonction exponentielle : . La fonction exponentielle est la seule fonction continue sur ℝ qui transforme une somme en produit et qui prend la valeur e en 1.
Propriété (conséquence de la définition)
ex > 0, on peut alors poser t = ln(ex). t = ln(ex) ex = et, d'après (P1) et ex = et x = t. Pour (P3) : e0 = 1, donc ln(1) = 0 et e1 = e donc ln(e) = 1.
Définition 2 : On appelle fonction exponentielle de base a la fonction définie pour tout réel x par x → ax o`u ax = ex×ln(a).
On peut distinguer deux catégories de solides : les polyèdres et les non polyèdres. Un polyèdre est un solide délimité par des faces qui sont toutes des polygones. Le mot vient du grec poly- = « nombreux », et de -èdre = « face ». Les polyèdres peuvent être analysés en terme d'arêtes, de faces et de sommets.
Un heptaèdre est un polyèdre qui a sept faces. Un heptaèdre peut prendre un nombre surprenant de différentes formes de base, ou topologies. Probablement les plus familiers sont la pyramide hexagonale et le prisme pentagonal.
L'octaèdre est formé de deux pyramides (bipyramide) de base carrée, dont les faces latérales sont des triangles équilatéraux. L'octaèdre est un des cinq solides platoniciens.