Une primitive de est donc - ln(cos(x)).
La dérivée f' de la fonction f(x)=arctan x est : f'(x) = 1 / (1 + x²) pour tout x réel.
La fonction logarithme népérien est donc la bijection réciproque de la fonction exponentielle. C'est également la primitive définie sur les réels strictement positifs et qui s'annule en 1 de la fonction inverse x ↦ 1x. Cette fonction fut notée l.
Il résulte du fait que ln est strictement croissante et tend vers +∞ quand x tend vers +∞ qu'il existe un unique nombre réel e>1 tel que ln(e)=1. En effet ln(1)=0.
Ce nombre est défini à la fin du XVII e siècle, dans une correspondance entre Leibniz et Christian Huygens, comme étant la base du logarithme naturel. Autrement dit, il est caractérisé par la relation ln(e) = 1 ou de façon équivalente il est l'image de 1 par la fonction exponentielle, d'où la notation exp(x) = ex.
Les relations Arcsinus, Arccosinus et Arctangente permettent de calculer la valeur d'un angle aigu d'un triangle rectangle dont on connaît les côtés.
tan y x = - - . Arctan x y - = - . Arctan Arctan y y - = - . Il en résulte que la fonction Arctan est impaire.
On détermine d'abord le rapport tangente, puis on utilise la touche tan−1 (qu'on appelle aussi arctan a r c t a n ) sur la calculatrice. Détermine la mesure de l'angle BAC B A C dans le triangle rectangle suivant à l'aide du rapport tangente.
La primitive (sans borne) de cosinus est égale à un sinus positif, et la primitive de sinus est égale à un cosinus négatif.
Conclusion : La fonction admet des primitives sur l'intervalle ]- /2 ; /2[. Elles sont toutes de la forme : Note : hors de ]- /2 ; /2[, toute primitive de 1/cos(x) est aussi de la forme ln |tan( /4 + x/2)| + constante.
Règle : La règle de dérivation en chaîne
Pour deux fonctions dérivables ? ( ? ) et ? ( ? ) , la dérivée de leur fonction composée ? ( ? ( ? ) ) est : d d d d d d ? ( ? ( ? ( ? ) ) ) = ? ? ? ? . On peut écrire cette règle de manière plus succincte en utilisant la notation prime : ( ? ( ? ) ) ′ = ? ′ ( ? ) ? ′ .
La dérivée f' de la fonction f(x)=arccos x est : f'(x) = - 1 / √(1 - x²) pour tout x dans ]-1,1[.
La dérivée f' de la fonction f(x)=arcsin x est : f'(x) = 1 / √(1 - x²) pour tout x dans ]-1,1[.
On note arctan : R → [−π/2, π/2] la fonction réciproque i.e. si x ∈ R, alors y = arctanx ⇔ tany = x ET − π/2 <x<π/2.
On prend x et on le place sur cet axe vertical : on obtient un point B sur l'axe. On trace (OB), ce qui délimite un arc de cercle : la longueur de cet arc de cercle ainsi créé est égale à arctan(x) ! Arctan(x) correspond à l'arc de cercle, d'où la notation de arctan, comme pour arccos et arcsin !
Exemple : Arccos(1/2) = π/3. Pourquoi Arc et non angle ? Tout simplement parce que sur le cercle trigonométrique (centré à l'origine et de rayon 1), y représente la mesure de l'arc AM défini par l'angle ^AOM.
Trigonométrie Exemples. La valeur exacte de sin(30°) sin ( 30 ° ) est 12 .
Le sinus de l'angle est le rapport des longueurs du côté opposé à cet angle et de l'hypoténuse. Le cosinus de l'angle est le rapport des longueurs du côté adjacent à cet angle et de l'hypoténuse. La tangente de l'angle est le rapport des longueurs du côtés opposé et adjacent à cet angle et de l'hypoténuse.
Attention ! Beaucoup d'élèves disent ln(0) = 1, ce qui est archi-faux ! Par ailleurs, la fonction ln est STRICTEMENT CROISSANTE. On va également s'en servir par la suite.
Le premier à s'intéresser de façon sérieuse au nombre e est le mathématicien suisse Leonhard Euler (1707 ; 1783). C'est à lui que nous devons le nom de ce nombre. Non pas qu'il s'agisse de l'initiale de son nom mais peut être car e est la première lettre du mot exponentielle.