Le produit scalaire de deux vecteurs est commutatif : →u⊙→v=→v⊙→u. Il y a distributivité du produit scalaire par rapport à l'addition des vecteurs : →u⊙(→v+→w)=→u⊙→v+→u⊙→w. Il y a associativité mixte : (α→u)⊙→v=α(→u⊙→v)=→u⊙(α→v).
Le produit vectoriel de deux vecteurs peut être calculé comme le déterminant d'une matrice trois fois trois où les éléments de la première ligne de la matrice sont les vecteurs unitaires 𝐢, 𝐣 et 𝐤 pointant respectivement dans les directions des 𝑥, 𝑦, et 𝑧.
Pour calculer les coordonnées de la somme de deux vecteurs, on additionne les coordonnées de chacun des vecteurs. Pour calculer les coordonnées de la différence de deux vecteurs, on soustrait les coordonnées de chacun des vecteurs.
Lors de la multiplication d'un vecteur par un scalaire, la norme du vecteur résultant sera égale à la norme du vecteur de départ multipliée par k en valeur absolue. Ainsi, si ∣k∣<1→ ∣ k ∣< 1 → norme du vecteur résultant sera plus petite. si ∣k∣=1→ ∣ k ∣= 1 → norme du vecteur résultant sera la même.
Un scalaire est une quantité physique qui n'est spécifié que par sa grandeur. On peut l'exprimer avec un nombre, suivi ou non d'une unité (1 kg, 30 sec, 3 °C, ...).
La trace d'une matrice carrée M est la somme de ses coefficients diagonaux 1, notée tr(M). L'application M ↦→ tr(M) est une forme linéaire sur Mp(R). Propriété. La produit scalaire canonique de Mn,p(R) est donné par la formule (A|B) = tr( tA · B).
Soit le vecteur 𝐑 la résultante de deux forces vectorielles 𝐅 indice un et 𝐅 indice deux qui agissent en un seul point d'angle 𝛼 entre eux. Ensuite, 𝑅 est égal à la racine carrée de 𝐹 indice un au carré plus 𝐹 indice deux au carré plus deux 𝐹 indice un 𝐹 indice deux multiplié par cosinus 𝛼.
2- Coordonnées du vecteur défini par deux points
Dans le plan muni du repère (O,I,J) on considère les points A(xA, yA) et B(xB, yB). Les coodonnées du vecteur AB sont (xB – xA, yB – yA).
Le produit scalaire peut être calculé entre des vecteurs à 2 ou 3 composantes (voire plus, même si c'est plus difficile à représenter). En revanche le vectoriel ne peut être calculé qu'avec des vecteurs à trois composantes (espace à 3 dimensions).
Le produit vectoriel de deux vecteurs u et v est l'unique vecteur u ∧ v tel que, pour tout w, on a : Le produit vectoriel s'interprète comme les variations du volume orienté d'un parallélépipède en fonction du troisième côté.
découlent du calcul en coordonnées. On choisit donc une base ortho- normée directe i, j, k et on écrit les vecteurs u, v sur cette base : u = xi + yj + zk et v = x/i + y/j + z/k.
Démonstration Le produit scalaire ⟨ x , x ⟩ = ∑ i =1 n x i 2 est une somme de carrés tous positifs. Définition Pour tout x ∈ R n , on définit sa norme ‖ x ‖ = √⟨ x , x ⟩. Propriété Pour tout x ∈ R n , on a ‖ x ‖ ≥ 0 avec égalité si et seulement si x = 0.
On peut trouver réponse à cette question en examinant ce à quoi sert le produit scalaire en 1re S : il est utile pour démontrer que deux droites ou deux directions sont orthogonales, pour déterminer un angle géométrique (par calcul de son cosinus), et enfin pour établir le théorème d'Al-Kashi.
Produit scalaire et vecteurs colinéaires
Si ⃗ AB et ⃗ CD sont deux vecteurs colinéaires non nuls, alors : 1er cas, vecteurs de même sens : ⃗ ⋅ C D ⃗ = A B × C D \vec {AB}\cdot \vec {CD}=AB\times CD AB ⋅CD =AB×CD.
Réponse. On se souvient qu'on a généralisé le fait que, pour deux points quelconques 𝐴 et 𝐵 , on peut déterminer le vecteur 𝐴 𝐵 en soustrayant le vecteur ⃑ 𝐴 𝑂 𝐴 au vecteur ⃑ 𝐵 𝑂 𝐵 : 𝐴 𝐵 = ⃑ 𝐵 − ⃑ 𝐴 .
Considérons deux points p et p de coordonnées res- pectives (x, y) et (x ,y ). Leur distance euclidienne est donnée par la formule p−p = √ (x − x )2 + (y − y )2.
Soient u et v , deux vecteurs de coordonnées respectives (xy) et (x′y′). Le déterminant de u et v est le réel det(u ;v )=xy′−yx′. Propriété : Deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, leur déterminant est nul.
Forces parallèles
Quand une force A et une force B agissent sur un objet dans le même sens (vecteurs colinéaires), la force résultante (C) est égale à A + B, dans la direction de A et B.
En mathématiques, plus précisément en géométrie vectorielle euclidienne, la relation de Chasles est une relation permettant d'additionner deux vecteurs dans un espace affine. Par extension, elle peut aussi être utilisée en géométrie plane, en intégration, en analyse complexe, etc.
Vecteur nul :
Lorsque deux points A A A et B B B sont confondus, on dit que le vecteur A B → \overrightarrow{AB} AB est un vecteur nul et on note 0 → \overrightarrow{0} 0 ce vecteur. Le vecteur nul a une longueur égale à 0, mais n'a ni direction, ni sens.
Si les vecteurs sont parallèles et de même sens, leur produit scalaire est égal au produit de leurs longueurs. En effet : α = 0 et cos 0 = 1 . Si les vecteurs sont parallèles et de sens contraires, leur produit scalaire est égal à l'opposé du produit de leurs longueurs. En effet : α = π et cos π = - 1 .
Une matrice scalaire est une matrice diagonale (à coefficients dans un anneau) dont tous les coefficients diagonaux sont égaux, c'est-à-dire de la forme λIn où λ est un scalaire et In la matrice identité d'ordre n.
Les matrices servent, entre autre, à exprimer des règles de transformation lorsqu'on applique des transformations géométriques au plan cartésien.