On pourrait écrire la relation de récurrence suivante : Un+1 = Un + 3 avec U0 = − 5. Définition : Une suite arithmétique est une suite où l'on passe d'un terme à son suivant en ajoutant toujours le même nombre r appelé la raison.
Etablir une relation de récurrence pour une suite (un), c'est écrire une égalité faisant intervenir un terme quelconque et son ou ses suivant(s). Bien souvent dans les exercices de type Bac, il s'agit d'écrire une égalité faisant intervenir un+1 et un.
Pour calculer la raison d'une suite arithmétique, nous pouvons utiliser la définition par récurrence d'une suite arithmétique, u n + 1 = u n + r . Nous pouvons également exploiter le terme général d'une suite arithmétique, u n = u 0 + n r .
Le raisonnement par récurrence sert à démontrer qu'une proposition est vraie pour tout entier naturel n. C'est l'une des méthodes de démonstration utilisées en mathématiques. L'ensemble des entiers naturels est noté N, il contient l'ensemble des entiers qui sont positifs.
En mathématiques, le raisonnement par récurrence (ou par induction, ou induction complète) est une forme de raisonnement visant à démontrer une propriété portant sur tous les entiers naturels.
On a vu que la récurrence classique permet de démontrer des propriétés dont la véracité se “propage” d'un rang au rang suivant, et que la récurrence double permet de démontrer des propriétés dont la véracité à un rang donné est impliquée par sa véracité aux deux rangs précédents.
Une suite numérique est une suite géométrique de raison s'il existe un nombre réel tel que u n + 1 = q u n . Le terme général d'une suite géométrique de raison est u n = u 0 q n . Pour montrer qu'une suite est géométrique, il faut démontrer que le quotient u n + 1 u n est constant pour tout nombre entier .
La somme des n premiers termes d'une suite géométrique de raison q et de premier terme a est donnée par la formule : a(1-qⁿ)/(1-q).
La suite logique : 4, 6, 15, 105, ? Cette suite logique consiste à soustraire le carré du nombre par le même nombre initial, puis de diviser le résultat par deux, comme suit : (4 × 4 − 4) / 2 = 6. (6 × 6 − 6) / 2 = 15.
MÉTHODE 1. –
Pour déterminer le sens de variation d'une suite (un), on peut utiliser l'une des règles suivantes : a) On étudie le signe de la différence un+1 − un. ▶ Si un+1 − un est positive, alors la suite (un) est croissante. ▶ Si un+1 − un est négative, alors la suite (un) est décroissante.
Le terme général d'une suite, parfois appelé terme de rang 𝑛 et noté 𝑇 , est une expression algébrique qui relie le terme à son rang dans la suite. On considère le terme général 𝑇 = 3 𝑛 + 4 . Par conséquent, les trois premiers termes sont 7, 10 et 13.
k = n (n + 1) 2 . La variable k est appelée indice de la somme; on utilise aussi fréquemment la lettre i comme variable d'indice.
Le terme général d'une suite géométrique (un) peut s'exprimer directement en fonction de n avec un = u0qn ou un = upqn–p quel que soit p, entier naturel. Il est ainsi possible, connaissant u0 (ou up) et q, de calculer n'importe quel terme de la suite.
En mathématiques, la somme de deux nombres est le résultat de leur addition. Les éléments additionnés s'appellent les termes de la somme. Elle se calcule de différentes manières selon le système de numération employé.
En mathématiques, une famille presque nulle est une famille de nombres réels ou complexes telle que la sous-famille de ses termes non nuls est finie. En particulier, une suite presque nulle est une suite dont tous les termes sont nuls à partir d'un certain rang.
Si le premier terme est égal à 3, les premiers termes successifs sont : u0 = 3, u1 = 8, u2 = 13, u3 = 18. Une telle suite est appelée une suite arithmétique de raison 5 et de premier terme 3. Le nombre r est appelé raison de la suite.
Soit (un) une suite géométrique de raison q et de premier terme u1 = a, a étant un réel non nul. On a donc un = aqn−1. Pour trouver la raison d'une suite géométrique, si l'on connaît le premier et le dernier de n termes consécutifs, il faut extraire la racine (n−1)ième du quotient du dernier terme par le premier.
La récurrence forte: Nous utiliserons ce type de raisonnement lorsqu'une propriété P(n) dépend de toutes les propriétés précédentes. ▶ Pour montrer que P(n) est vraie pour tout entier n ≥ n0, on proc`ede en trois étapes: • Initialisation: On montre que P(n0) et P(n0 + 1) sont vraies.
On y trouve des séries de chiffres qui satisfont à ce théorème dit de Pythagore. Rappelons qu'il stipule que dans un triangle rectangle, le carré du plus grand côté (l'hypoténuse) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. La fameuse formule a² = b² + c².
Voici le principe de la récurrence forte : La propriété est vraie pour un premier rang n0 souvent 0 ou 1. Cette étape s'appelle l'initialisation. Si on suppose que la propriété est vraie pour tous les rangs n0 ≤ k ≤ n alors on montre la propriété au rang n+1.
La fonction exponentielle, notée exp, est la fonction réciproque du logarithme népérien. Autrement dit : si ln(x) = y alors x = exp(y). Or exp(1) est justement égal à e. Dans « Introductio in Analysin infinitorum » publié en 1748, Euler explique que : e = 1 + 1/1!
Symbole produit
On a ∏ i = p q ( x i × y i ) = ∏ i = p q x i × ∏ i = p q y i et si la famille ( y p , …, y q ) ne s'annule pas, ∏ i = p q x i y i = ∏ i = p q x i ∏ i = p q y i . Enfin, pour tout n ∈ N on a (∏ i = p q x i ) n = ∏ i = p q x i n .
Il fait : 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101 … 50 + 51 =101 soit 100 x 101 = 10100 et 10100 : 2 = 5050 car la suite est comptée deux fois. En 1788, Gauss entre au lycée pour y étudier les langues.
Calculons u10 et u50 : Cette suite commence au rang 0. On utilise la formule un =u0 +nr . Donc : u10 = u0 +10 x r = 2 +10 x 0,5 = 7 et u50 = u0 +50 x r = 2 +50 x0,5 = 27.