Le produit scalaire et le produit vectoriel sont deux calculs réalisés à partir deux vecteurs de même nombre de composantes. Ils ont en revanche des différences fondamentales: Avec le produit scalaire on obtient un scalaire (c'est-à-dire un nombre) tandis qu'avec le produit vectoriel on obtient un vecteur.
Les vecteurs et les scalaires. Un vecteur est un quantité physique qui est spécifié par avec une grandeur, une direction et un sens. Un scalaire est une quantité physique qui n'est spécifié que par sa grandeur. On peut l'exprimer avec un nombre, suivi ou non d'une unité (1 kg, 30 sec, 3 °C, ...).
Le produit vectoriel est une opération qui peut être appliquée à deux vecteurs et qui produit un autre vecteur. Le produit vectoriel est utilisé dans de nombreux domaines de la physique. Il peut notamment être utile pour calculer le couple sur un objet.
Le produit scalaire possède de multiples applications. En physique, il est, par exemple, utilisé pour modéliser le travail d'une force. En géométrie analytique il permet de déterminer le caractère perpendiculaire de deux droites ou d'une droite et d'un plan.
Le produit vectoriel de deux vecteurs est une façon précise de les multiplier. Il s'appelle le produit « vectoriel » car son résultat est un vecteur, à l'opposé du produit « scalaire » dont le résultat est un scalaire. Le produit vectoriel de deux vecteurs et se note u → ∧ v → ou u → × v → .
le produit vectoriel de deux vecteurs est nul si et seulement si ces deux vecteurs sont colinéaires.
Soit deux vecteurs →u et →v; le nombre réel résultant de l'opération notée →u⋅→v et telle que →u⋅→v=‖→u‖⋅‖→v‖cosθ, où ‖→u‖ désigne la norme du vecteur u, ‖→v‖ désigne la norme du vecteurv et θ est la mesure de l'angle formé entre les directions des deux vecteurs.
(d) Le produit scalaire de deux vecteurs. Il s'agit d'une opération de multiplication entre deux vecteurs donnant comme résultat un scalaire, c'est-à-dire un nombre. Il est noté en général avec un point →u⋅→v. Pour le distinguer de la multiplication usuelle, nous le noterons →u⊙→v.
Définition (Produit scalaire) On dit que l'application f : E × E → R est un produit scalaire si : (a) ∀(u, u , v, v ) ∈ E4, ∀(α, β) ∈ R2, f(αu + βu ,v) = αf(u, v) + βf(u ,v) : on dit que f est linéaire `a gauche. f(u, αv + βv ) = αf(u, v) + βf(u, v ) : on dit que f est linéaire `a droite.
produit vectoriel. règle de la main droite. associativité distributivité
Deux vecteurs →u et →v de l'espace sont orthogonaux si et seulement si →u. →v=0. . Deux droites D et Δ de vecteurs directeurs respectifs →u et →v sont dites orthogonales lorsque →u et →v le sont.
Pour calculer les coordonnées d'un vecteur à partir de deux points, nous devons soustraire les coordonnées du point de départ des coordonnées du point d'arrivée. Autrement dit, si nous disposons des points A ( x A , y A ) et B ( x B , y B ) , alors nous avons le vecteur A B → = ( x B − x A y B − y A ) .
En revanche, les vecteurs sont des grandeurs physiques qui possèdent une magnitude et une direction. Chaque grandeur physique, masse, longueur, etc., peut être classée comme scalaire ou comme vecteur.
Les quantités scalaires ne possèdent qu'une grandeur. Parmi les quantités vectorielles, mentionnons la position, le déplacement, le vecteur-vitesse, l'accélération, la force, le poids et la quantité de mouvement. La direction d'un vecteur se caractérise par une lettre entre crochets qui suit la grandeur (p.
Si les vecteurs sont parallèles et de même sens, leur produit scalaire est égal au produit de leurs longueurs. En effet : α = 0 et cos 0 = 1 . Si les vecteurs sont parallèles et de sens contraires, leur produit scalaire est égal à l'opposé du produit de leurs longueurs.
Si les deux vecteurs ont le même sens, alors leur produit scalaire sera toujours un nombre POSITIF. Mais, si les vecteurs sont de sens opposés, alors leur produit scalaire sera NEGATIF. Si un des vecteurs est nul ( égal à 0) alors le produit scalaire des deux vecteurs est nul (égal à 0).
Si ⃗ AB et ⃗ CD sont deux vecteurs colinéaires non nuls, alors : 1er cas, vecteurs de même sens : ⃗ ⋅ C D ⃗ = A B × C D \vec {AB}\cdot \vec {CD}=AB\times CD AB ⋅CD =AB×CD.
Si ϕ : E × E → C est un produit scalaire, alors ϕ(x,y) est noté 〈x|y〉. Si ϕ : E × E → K est un produit scalaire, alors ϕ(x,y) est noté 〈x|y〉. Si 〈·|·〉 est un produit scalaire sur E alors pour tout x ∈ E, 〈x|x〉 ≥ 0. On pose alors x = √〈x|x〉 qu'on appelle la norme de x.
Soient u et v , deux vecteurs de coordonnées respectives (xy) et (x′y′). Le déterminant de u et v est le réel det(u ;v )=xy′−yx′. Propriété : Deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, leur déterminant est nul. Le déterminant de u (−3 ;9) et v (1 ;−3) est det(u ;v )=(−3)×(−3)−9×1=0.
Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si, et seulement si, u ⋅v =0.
Le produit scalaire de deux vecteurs et colinéaires est égal à AB × CD s'ils sont de même sens, et à - AB × CD s'ils sont de sens contraires. Pour calculer le produit scalaire . , on peut remplacer le vecteur par sa projection orthogonale sur le vecteur . → AB . → CD = → AB .
La formule du produit scalaire avec le cosinus va nous permettre d'obtenir un résultat très intéressant pour les vecteurs colinéaires, car deux vecteurs colinéaires de même sens forment un angle nul (cos 0 = 1) et deux vecteurs colinéaires de sens opposé forment un angle plat égal à л (cos π-1 ).
Le produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteur dont les coordonnées dépendent de celles des deux vecteurs de départ (contrairement au produit scalaire où le résultat du produit de deux vecteurs est un scalaire (un nombre)). Le produit vectoriel s'applique seulement dans un espace en trois dimensions.
Étymologiquement, colinéaire signifie sur une même ligne : en géométrie classique, deux vecteurs sont colinéaires si on peut en trouver deux représentants situés sur une même droite.