La fonction exponentielle est dérivable sur Ë. Elle est sa propre dérivée, ce qui signifie que, quel que soit x : exp'(x) = exp (x) Si f(x) = ex, alors f'(x) = ex. Dem : ln ( exp (x) ) = x, les dérivées de ces deux fonctions sont donc toutes les deux égales à 1.
On a ainsi : f (x) = u(x) + v(x).
Comme écrit précédemment, le nombre dérivé d'une fonction f en un nombre a est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a. Le nombre dérivé de f en a est noté f'(a), ce qui se lit : f prime de a.
Les propriétés de la fonction exponentielle sont semblables à celles des puissances. Ceci a amené les mathématiciens à adopter la notation exp(x) = ex. La fonction exponentielle est strictement croissante sur . La dérivée est ex, elle est strictement positive sur .
Si f et g sont deux fonctions dérivables, alors f + g est aussi dérivable et sa dérivée est la somme de celle de f et de celle de g. Plus généralement, si f et g sont deux fonctions dérivables sur une partie I de R, alors f + g est aussi dérivable sur I et, sur I, sa dérivée est la somme de celle de f et de celle de g.
Re : Dérivée = 0
Si une dérivée est nulle en tout point, c'est que la fonction est contante, c'est-à-dire que pour tout x, f(x)=k avec k un réel.
La dérivée de 1 est nulle, car c'est une constante.
On la note exp et on note également f(x) = exp(x)=ex. Remarque : La notation ex est en lien avec les puissance ainsi que le nombre (( e )) défini dans le cours sur la fonction logarithme. ex se lit (( e puissance x )).
e x > x . Par définition, la limite de x en +∞ est +∞. + ∞ . Donc la limite de ex en +∞ est +∞ (limite par comparaison).
La sous-tangente, c'est-à-dire la distance qui sépare le réel x de l'abscisse du point d'intersection de la tangente à la courbe au point d'abscisse x avec l'axe des x, est constante et vaut 1. On montre de plus que f ne s'annule jamais. (en particulier, exp(0) = 1).
Pour lire graphiquement f '(0), on lit le coefficient directeur de la tangente en B. Pour cela, on peut : lire les coordonnées d'un autre point C de la droite et calculer le coefficient directeur . Ainsi, f '(0) = –1,5.
- Si la fonction f est définie par la formule f(x) = 2x +3 alors: l'image du nombre 0 est obtenue en calculant f(0) = 2x0 + 3 soit f(0) = 3 donc l'image du nombre 0 par cette fonction f est 3.
Exemple : (3x2)' = 3 × 2x = 6x.
La dérivée de 2x est égale à 2.
Naissance de la notion de dérivée : Sir Issac Newton et Gottfried Wilheim Leibniz (fin du XVIIè s.)
Pour la retenir, la meilleur façon à mon avis est de la comparer à la dérivée d'une fonction quelconque u(x). Ici x est la variable et on note toujours (u(x))' = u'(x). Rien de nouveau. Maintenant, quand on compose 2 fonctions, on a u(v) où cette fois v est une fonction qui en fait s'écrit v(x).
La fonction exponentielle est dérivable sur Ë. Elle est sa propre dérivée, ce qui signifie que, quel que soit x : exp'(x) = exp (x) Si f(x) = ex, alors f'(x) = ex. Dem : ln ( exp (x) ) = x, les dérivées de ces deux fonctions sont donc toutes les deux égales à 1. d'où exp'(x) = exp(x).
Si l'équation est du type e^{u\left(x\right)} = k. Afin de résoudre une équation du type e^{u\left(x\right)} = k, si k \gt0 on applique la fonction logarithme aux deux membres de l'égalité pour faire disparaître l'exponentielle.
Le nombre e est la base des logarithmes naturels, c'est-à-dire le nombre défini par ln(e) = 1. Cette constante mathématique, également appelée nombre d'Euler ou constante de Néper en référence aux mathématiciens Leonhard Euler et John Napier, vaut environ 2,71828.
La fonction exponentielle, notée exp : - est définie, continue, dérivable et strictement croissante sur R.
Pour tout nombre réel x, exp′(x)=exp(x)>0. La fonction dérivée de la fonction exponentielle est strictement positive sur R donc la fonction exponentielle est strictement croissante sur R.
Le nombre dérivé au point x du produit u.v est égal à u(x) . v'(x) + u'(x) . v(x).
Rappels : la dérivée d'un produit de deux fonctions u(x)×v(x) u ( x ) × v ( x ) est u′(x)v(x)+u(x)v′(x) u ′ ( x ) v ( x ) + u ( x ) v ′ ( x ) et la dérivée d'une inverse de v(x) est −v′(x)v(x)2 − v ′ ( x ) v ( x ) 2 dans la mesure où v(x) n'est pas nul.
Si la dérivée est d'abord positive , s' annule puis devient négative la fonction passe par un « maximum ». Si la dérivée est d'abord négative , s' annule puis devient positive la fonction passe par un « minimum ». Point d'inflexion : L'annulation de la dérivée sans changement de signe correspond à un point d'inflexion.