Ces deux fonctions sont définies et dérivables sur . Formule : . Exemple : (3x2)' = 3 × 2x = 6x.
La dérivée de 2x est égale à 2.
Pour déterminer la fonction dérivée d'une fonction sur un intervalle donné, on peut revenir à la définition du nombre dérivé en un point a. On calcule alors la limite du taux d'accroissement de cette fonction entre x et a, lorsque x tend vers a. Ce calcul « à la main » est souvent très long et laborieux.
La dérivée de x² est 2x, donc la dérivée de 2x² est 2 x 2x = 4x. La dérivée de – 3x est – 3.
Une dérivée troisième peut être écrite soit f´´´(x) f ´ ´ ´ ( x ) , soit f(3)(x) f ( 3 ) ( x ) , soit d3fdx3 d 3 f d x 3 .
Sa dérivée est toujours positive (ou nulle pour x = 0).
La dérivée de 1 est nulle, car c'est une constante. Le même résultat est obtenu lors du calcul de la dérivée d'un nombre quelconque.
Calculer la dérivée de f (x) = 2(x2 + 8)(x + 5). La dérivée d'une "fraction" est: la dérivée du numérateur • le dénominateur – le numérateur • la dérivée du dénominateur, le tout divisé par le carré du dénominateur.
Pour la retenir, la meilleur façon à mon avis est de la comparer à la dérivée d'une fonction quelconque u(x). Ici x est la variable et on note toujours (u(x))' = u'(x). Rien de nouveau. Maintenant, quand on compose 2 fonctions, on a u(v) où cette fois v est une fonction qui en fait s'écrit v(x).
Graphiquement, la dérivée d'une fonction correspond à la pente de sa droite tangente en un point spécifique. L'illustration qui suit permet de visualiser la droite tangente (en bleu) d'une fonction quelconque en deux points distincts. Remarquez que l'inclinaison de la droite tangente varie d'un point à l'autre.
Comme 8 est constant par rapport à x , la dérivée de 8x par rapport à x est 8ddx[1x] 8 d d x [ 1 x ] .
la dérivée de cos x est - sinx ; celle de y² est 2y'y (y = y(x), y² est une fonction composée : le carré appliqué à y, légérement hors programme en 1re S). Ainsi la dérivée de (cos x)² est donc 2(- sin x)(cos x). On trouve donc bien -8 cos x sin x.
Calcul infinitésimal Exemples
Comme π2 est constant par rapport à x , la dérivée de π2 par rapport à x est 0 .
Autre exemple, la dérivée de la fonction cube f(x)=x3 f ( x ) = x 3 est f′(x)=3x2.
Comme écrit précédemment, le nombre dérivé d'une fonction f en un nombre a est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a. Le nombre dérivé de f en a est noté f'(a), ce qui se lit : f prime de a.
La dérivée de e, puisqu'il s'agit d'une constante, est égale à zéro. La même chose se produit avec la dérivée de e élevée à n'importe quel nombre naturel n (e n ). Maintenant, il se peut que e soit élevé à une fonction.
Un mot dérivé est formé à partir d'un mot répertorié dans le lexique auquel on ajoute un préfixe (placé avant) ou un suffixe (placé après) qui permet de former un nouveau mot.
Le nombre dérivée de la fonction f au point a est par définition la pente de la tangente, si elle existe, à la courbe représentative de f au point d'abscisse a. Il se note f'(a). On suppose la fonction f dérivable en a. Elle admet donc une tangente au point A d'abscisse a, d'équation y = mx + p.
Pour lire graphiquement f '(0), on lit le coefficient directeur de la tangente en B. Pour cela, on peut : lire les coordonnées d'un autre point C de la droite et calculer le coefficient directeur . Ainsi, f '(0) = –1,5.
Et on a dit : une primitive u'/√u c'est 2√u, donc ici ça va faire 2√e^x.
La fonction inverse a pour formule f ( x ) = 1 x et son ensemble de définition est R ∖ { 0 } . La dérivée de la fonction inverse est f ( x ) = − 1 x 2 . Elle est donc décroissante sur son ensemble de définition.
Là aussi c'est très simple, dans la dérivée tu réécris la constante multiplicative et tu dérives tranquillement le reste. Comme tu le vois, on a réécris le 9 et on a ensuite dérivé le x5. Il n'y a aucune difficulté à ce niveau-là, tout semble très logique.
Méthode Pour lire graphiquement le nombre dérivé de f en a , on lit le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a ou on le calcule avec la formule \dfrac{y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}}{x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}} avec (\mathrm{AB}) tangente en \text{A} à la courbe de f .