Un sous-ensemble quelconque fermé (d'un espace topologique) est fermé (quel que soit l'espace topologique). C'est une tautologie ! En revanche, tous les sous-ensembles de Z sont fermés (et ouverts). La topologie usuelle de Z est la topologie discrète.
On dit que A est inclus dans B si chaque élément de A est un élément de B. On note A ⊂ B. On dit aussi “A est contenu dans B” ou “A est une partie de B” ou “A est un sous-ensemble de B”. Remarques - • A ⊂ A • Si A ⊂ B et B ⊂ C, alors A ⊂ C • A = B si et seulement si (A ⊂ B et B ⊂ A).
Un intervalle I de R est un sous-ensemble de R qui vérifie : ∀a, b ∈ I, [a, b] ⊂ I. Définition 3 (Intervalle). ∗ n'est pas un intervalle.
Par exemple l'ensemble des entiers naturels non nuls N* est inclus dans l'ensemble des entiers naturels N, de même que l'ensemble des entiers naturels pairs 2N, mais 2N n'est pas inclus dans N* car 0 ∈ 2N, mais 0 ∉ N* : N* ⊂ N, 2N ⊂ N, 2N ⊄ N*.
Pour dénombrer les absents dans une assemblée prévue de cinquante personnes, il suffit de compter les présents. En effet, l'ensemble des personnes absentes est le complémentaire de celui des personnes présentes. Si 47 personnes sont présentes, alors il y a 50 – 47 = 3 absents.
L'événement A U B (lire A union B), aussi appelé «A ou B» , est l'ensemble des issues qui sont dans A ou dans B ou dans les deux. i) Événements disjoints : Deux événements A et B sont «incompatibles» ou «disjoints» si A et B n'ont aucune issue en commun, donc aucun élément commun (A ∩ B = Ø).
A ∩ B (l'intersection de A et B) est l'ensemble de nombres qui appartiennent à la fois à A et à B. A U B (l'union de A et B) est l'ensemble de nombres qui appartiennent soit à A soit à B (soit aux deux).
Par exemple, ℝ* est l'ensemble des nombres réels privé de 0. Tous les nombres de l'ensemble des entiers naturels ℕ appartiennent à l'ensemble des entiers relatifs ℤ.
Les nombres réels et les ensembles de nombres
On note R∗ l'ensemble des nombres réels dont on a enlevé le nombre 0 . On note R+ l'ensemble des nombres réels positifs. On note R− l'ensemble des nombres réels négatifs.
Les nombres naturels, représentés par N , regroupent tous les nombres entiers compris entre 0 inclusivement et l'infini positif. On utilise parfois l'appellation nombres entiers naturels pour désigner cet ensemble.
Le symbole Q désigne l'ensemble des nombres rationnels. Tous les nombres naturels, entiers et décimaux sont des nombres rationnels.
Un nombre entier relatif est un nombre entier qui peut être positif, négatif ou nul. L'ensemble des nombres relatifs se note . (« Z » est l'initiale du mot « Zahl » qui signifie « nombre » en allemand). On dit aussi un entier relatif au lieu de nombre entier relatif.
L'ensemble ayant pour éléments tous les sous-ensembles ou parties d'un ensemble E est noté de la façon suivante : P(E). Si Card(E) = n, alors : Card(P(E)) = 2n. Une partie d'un ensemble E différente de E et non vide est appelée une partie propre de l'ensemble E.
Union (réunion) d'ensembles
L'union (∪) de deux ensembles A et B s'exprime ainsi : A∪B={x∈Ω∣x∈A ou x∈B} A ∪ B = { x ∈ Ω ∣ x ∈ A ou x ∈ B } où Ω représente l'ensemble dans lequel se trouvent tous les éléments, c'est-à-dire l'univers des possibles.
La réponse simple. On peut écrire « ensemble » ou « ensembles » selon le sens de la phrase et la place occupée par chacun de ces deux mots. Exemples : Nous partirons ensemble demain matin.
Les nombres entiers, représentés par Z , regroupent tous les nombres entiers positifs et négatifs. On utilise fréquemment l'appellation nombres entiers relatifs. On peut voir l'ensemble des nombres entiers comme l'ensemble regroupant les nombres entiers naturels (N) et leurs opposés, les nombres entiers négatifs.
L'opposé de l'inverse de 3/4 est . 8.
Définition : Les entiers naturels sont les nombres entiers positifs. Exemples : 0 ; 1 ; 2 ; 12 ; 33 ; 2008 sont des entiers naturels.
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Les nombres naturels 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 [...], les entiers relatifs [...] -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 [...], les nombres rationnels (1/2, -3/4 par exemple) sont aussi des nombres réels.
Un nombre réel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'un entier suivi d'un nombre fini ou infini de décimales (chiffres après la virgule). Les nombres entiers, les fractions sont des nombres réels. Exemple : Pi est un nombre réel.
Sous l'onglet Insertion, dans le groupe Illustrations, cliquez sur SmartArt. Dans la galerie Choisir un graphique SmartArt, cliquez sur Relation, cliquez sur un type de diagramme de Venn (tel que Venn simple), puis cliquez sur OK.
Dans l'espace
l'intersection d'une droite et d'un plan non parallèles est un point. l'intersection de deux plans non parallèles est une droite.
Les diagrammes de Venn ont été conçus autour de 1880 par John Venn. Ils sont utilisés pour enseigner la théorie des ensembles élémentaires, ainsi que pour illustrer des relations simples en probabilité, logique, statistiques, linguistique et en informatique.