DÉFINITION 1. On désigne par ℂ l'ensemble des nombres complexes et par « i » un élément de ℂ tel que i 2 = −1. Tout nombre complexe z s'écrit de manière unique : z = a + ib avec a ∈ ℝ et b ∈ ℝ.
L'ensemble ℚ a été défini par Peano, il vient de l'italien quotiente (la fraction). Il définit l'ensemble des nombres rationnels (exemples : -3 -2,5 0 1,25 1/3 2,666). Le nombre peut être décimal limité (3/4 = 0,75) ou périodique (2/3 = 0,666...). ℤ est inclus dans ℚ.
L'ensemble des nombres complexes est donc un corps commutatif algébriquement clos non totalement ordonnable. En fait, le corps des complexes est la clôture algébrique du corps des réels, c'est-à-dire le plus petit corps qui contienne le corps des réels et qui soit algébriquement clos.
On note N∗ , l'ensemble des nombres entiers naturels dont on a enlevé la valeur 0 . N∗={1,2,3,4,5,...} N ∗ = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , . . . }
L'ensemble D
C'est l'ensemble des nombres décimaux relatifs. Un nombre décimal relatif est, non seulement, un nombre entier relatif, mais peut aussi être un nombre à virgule flottante, positif ou négatif. Exemples : …. -5, -4, -4.2, -3, -2, -1.5, -1, 0, +0.7, +1, +2, +2.4, +3, +4, +5, +6, +6.75 +7, +8, etc.
Les nombres entiers, représentés par Z , regroupent tous les nombres entiers positifs et négatifs. On utilise fréquemment l'appellation nombres entiers relatifs. On peut voir l'ensemble des nombres entiers comme l'ensemble regroupant les nombres entiers naturels (N) et leurs opposés, les nombres entiers négatifs.
Les nombres réels, représentés par R, sont tous les nombres qui appartiennent à l'ensemble des nombres rationnels ou à l'ensemble des nombres irrationnels. L'ensemble des nombres réels correspond à l'union des ensembles rationnels (Q) et irrationnels (Q′).
La construction formelle de cette ensemble est de nouveau obtenue par Dedekind (1831 − 1916) et la notation Z (du mot allemand Zahlen signifiant nombres) est popularisée par le mathématicien polycéphale Bourbaki (né en 1935).
Le signe * exclu le nombre 0 d'un ensemble. Par exemple, ℝ* est l'ensemble des nombres réels privé de 0. Tous les nombres de l'ensemble des entiers naturels ℕ appartiennent à l'ensemble des entiers relatifs ℤ.
Il fait partie de l'ensemble des nombres rationnels. √2 et π sont des exemples de nombres qui ne peuvent pas s'exprimer sous la forme ab et dont le développement décimal est infini et non-périodique. Il ne font donc pas partie de l'ensemble des nombres rationnels. Ce sont des nombres irrationnels.
L'ensemble 𝕌 est donc un groupe pour la multiplication des nombres complexes. Les nombres complexes 1, –1, i et –i appartiennent au cercle unité. Le cercle unité est le plus grand sous-groupe borné de ℂ*. Autrement dit, tout sous-groupe borné de ℂ* est inclus dans le cercle unité 𝕌.
L'ensemble ayant pour éléments tous les sous-ensembles ou parties d'un ensemble E est noté de la façon suivante : P(E). Si Card(E) = n, alors : Card(P(E)) = 2n. Une partie d'un ensemble E différente de E et non vide est appelée une partie propre de l'ensemble E.
Celle-ci se base simplement sur des matrices de dimensions 2. On "note" la première matrice comme étant 1 et la deuxième matrice comme étant i. On remarque évidemment que i²=-1. On définit C comme étant l'ensemble des combinaisons (par addition, par multiplication, par multiplicication par un réel) de 1 et de i.
De façon formelle, soit f une fonction à valeurs réelles, l'ensemble de définition de f est l'ensemble des réels x pour lesquels l'image f ( x ) existe ou pour lesquels f ( x ) a un sens. L'ensemble de définition d'une fonction f est souvent noté D f .
Puisque chaque nombre entier peut être écrit sous forme de fraction, chaque nombre entier est un nombre rationnel.
Définition : Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas s'écrire à l'aide d'une fraction. Exemples : √2, √3 ou encore sont des nombres irrationnels. Ils ne peuvent pas s'écrire sous la forme d'une fraction. Définition : Un nombre réel est un nombre rationnel ou irrationnel.
Un nombre imaginaire pur est un nombre complexe qui s'écrit sous la forme ia avec a réel, i étant l'unité imaginaire. Par exemple, i et −3i sont des imaginaires purs. Ce sont les nombres complexes dont la partie réelle est nulle. L'ensemble des imaginaires purs est donc égal à iℝ (aussi noté iR).
-3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 [...], les nombres rationnels (1/2, -3/4 par exemple) sont aussi des nombres réels.
Certains nombres comme π ou √2 ne peuvent s'exprimer comme des fractions, l'ensemble R contenant ces nombres n'a été inventé qu'à la fin du 19ième siècle par les mathématiciens Cantor et Dedekind.
Le seul nombre nul qui existe est zéro. Lorsque l'on parle d'un nombre non-nul, on fait référence à un nombre qui n'est pas zéro.
Un nombre entier relatif est un nombre entier qui peut être positif, négatif ou nul. L'ensemble des nombres relatifs se note . (« Z » est l'initiale du mot « Zahl » qui signifie « nombre » en allemand). On dit aussi un entier relatif au lieu de nombre entier relatif.
Quels sont les sous-ensembles de Z ? Que nous dit la valeur absolue? Z est l'ensemble des entiers relatifs ou rationnels ou tout simplement entiers.
ou D, ensemble des nombres décimaux. ou Q, ensemble des rationnels. ou R, ensemble des nombres réels. , ensemble des nombres réels positifs ou nuls.
ℝ2 est une notation mathématique qui désigne l'ensemble des couples de nombres réels.