Cours. L'ensemble des entiers naturels est l'ensemble N des entiers positifs ou nuls : 0;1;2;... L'ensemble des entiers relatifs est l'ensemble Z des entiers positifs ou nuls et des entiers négatifs : ...;−3;−2;−1;0;1;2;3;...
L'autre manière, plus intuitive, de définir plus petit pourrait être : On dit qu'un ensemble A est plus petit qu'un ensemble B si tous les éléments de A sont éléments de B et si B possèdent au moins un élément qui n'est pas dans A.
Qu'est-ce que l'ensemble Z ? Z est l'ensemble des nombres entiers relatifs, c'est à dire positifs, négatifs ou nuls. Z∗ (Z étoile) est l' ensemble des entiers relatifs sauf 0 (zéro). L'ensemble N est inclus dans l'ensemble Z (car tous les nombres entiers naturels font partie des entiers relatifs).
On appelle ces nombres : les entiers naturels.
Élément neutre (noté 0) des groupes additifs. 6. Cardinal de l'ensemble vide.
Le zéro a été inventé aux alentours du Ve siècle en Inde. Le mathématicien et astronome Brahmagupta dessine le vide, le néant, le rien. Il invente un signe pour l'absence et ouvre le chemin de la représentation de ce qui n'était pas représentable jusque-là.
Le symbole de l'infini a été utilisé pour la première fois par le mathématicien John Wallis, en 1655.
L'opposé du nombre 0 est le nombre 0. Deux nombres opposés sont deux nombres de même valeur absolue et de signes contraires.
A noter que l'inverse de 0 n'existe pas car il est impossible de diviser par 0 en mathématiques. En effet, la division par 0 ne représente rien car on ne peut pas diviser une partie par quelque chose qui n'existe pas.
Le chiffre zéro a été utilisé pour la première fois par les babyloniens au cours du deuxième millénaire avant J.C., avant d'être réinventé par les Mayas puis par les Hindous. Mais ce sont les arabes qui l'intégreront à leur système de numération, pour le diffuser dans toute l'Europe au cours du X° siècle.
Par exemple, ℝ* est l'ensemble des nombres réels privé de 0. Tous les nombres de l'ensemble des entiers naturels ℕ appartiennent à l'ensemble des entiers relatifs ℤ.
Le plus petit nombre entier n'existe pas. En effet, les nombres entiers sont les nombres entiers relatifs, qui incluent les nombres entiers négatifs, jusqu'à la limite de l'infini négatif. En revanche, le plus petit des nombres entiers naturels est 0, et le plus petit nombre entier naturel non nul est 1.
Les nombres naturels, représentés par N , regroupent tous les nombres entiers compris entre 0 inclusivement et l'infini positif. On utilise parfois l'appellation nombres entiers naturels pour désigner cet ensemble. Les nombres naturels représentent tous les nombres entiers positifs.
L'ensemble des entiers naturels est l'ensemble N des entiers positifs ou nuls : 0;1;2;...
La différence entre les nombres rationnels et irrationnels
Dans toutes les formes décimales terminales, 0.5 peut être écrit comme 1/2, 5/10 ou 10/20. √81 est un nombre rationnel puisqu'il peut être réduit à 9.
Les nombres entiers, représentés par Z , regroupent tous les nombres entiers positifs et négatifs. On utilise fréquemment l'appellation nombres entiers relatifs. On peut voir l'ensemble des nombres entiers comme l'ensemble regroupant les nombres entiers naturels (N) et leurs opposés, les nombres entiers négatifs.
Or, zéro n'a pas d'inverse puisque n'importe quel chiffre multiplié par zéro donne toujours zéro. Par conséquent, la division par zéro est impossible et aboutirait à des contresens mathématiques.
Pourquoi 1 fois 0 Egale à 0 ? la multiplication par 1 qui ne change pas le facteur : 1 × a = a × 1 = a. On dit que 1 est un élément neutre pour la multiplication ; la multiplication par 0 qui donne toujours 0 : 0 × a = a × 0 = 0. on dit que 0 est un élément absorbant pour la multiplication.
En termes vulgarisés, quand x est très petit, 1/x est très grand, ce qui peut pousser à convenir que 1/0 vaudrait l'infini. Le problème est que quand x est très petit mais inférieur à 0, 1/x devient très important en dessous de zéro. On ne peut donc définir si 1/0 vaudrait plus l'infini ou moins l'infini.
Le chiffre 1 est également son propre inverse, puisque 1 ÷ 1 = 1. Par contre, l'inverse de 0 n'existe pas, car on ne peut pas diviser par 0 X Source de recherche .
Le produit d'un nombre et de son inverse est toujours égal à 1.5 × 0,2 = 1. On peut en déduire que l'inverse de 5 est 0,2 et que l'inverse de 0,2 est 5.
Anneaux et corps. des entiers relatifs, seuls 1 et –1 ont un inverse : eux-mêmes respectivement. des rationnels, l'inverse de 2 est 1⁄ 2 = 0,5 et l'inverse de 4 est 0,25.
Pi est un nombre irrationnel (c'est à dire qu'il s'écrit avec un nombre infini de décimales sans suite logique). Les premières sont : 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582. Dans la pratique, on utilise 3,14 mais il est souvent aisé de retenir 22 septièmes ou racine de 10 pour valeur approchée de Pi.
Il faut savoir que des mathématiciens sont allés encore plus loin. Ils ont nommé un nombre encore plus grand : le "Googolplex", c'est un 1 suivi d'un googol de zéros, un nombre si immense qu'il y a davantage de zéros dans l'écriture de ce nombre que d'atomes dans l'univers.
L'expression de gauche, composée d'une somme infinie de termes égaux à 1, tend vers l'infini. Ainsi 0 est égal à l'infini.