Le plus grand commun diviseur de deux nombres entiers naturels non nuls est le plus grand entier qui divise simultanément ces deux entiers.
Pour trouver le plus grand commun diviseur de plusieurs nombres, on vérifie si chacun des nombres est divisible par un nombre premier comme 2, 3, 5, 7, 11, etc. On note les diviseurs communs. À la fin, on multiplie ces diviseurs : c'est le plus grand commun diviseur.
On remarque que 1 est le plus grand diviseur commun.
5- Si un nombre naturel divise deux autres nombres, il divise également leur différence. NB : Le plus grand diviseur d'un nombre est lui-même.
On calcule le PGCD de 756 et 441 (ce sera un multiple de 3) ; il s'agit de 63.
Le plus grand commun diviseur à 162 et 108 est 54; le cuisinier peut donc préparer 54 barquettes. c. On a 162 ÷ 54 = 3 et 108 ÷ 54 = 2.
Le PGCD de 186 et 155 est le dernier reste non nul, soit 31.
Exemple Les diviseurs de 48 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 16 ; 24 ; 48 . Les diviseurs de 72 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 9 ;12 ; 18 ; 24 ; 36 ; 72. Les diviseurs communs à 48 et 72 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 9 ; 12 ; 24 . Le PGCD de 48 et 72 est donc : 24 .
Définition. Un entier naturel est un nombre premier s'il admet exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui‑même.
Les diviseurs communs de 12 et 18 sont 1, 2, 3, et 6. Le PGCD (12 ; 18) est 6. Méthode 2 : Algorithme des soustractions. Propriété du PGCD : On prend deux nombres entiers strictement positifs a et b.
Diviseurs de 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 et leurs opposés.
N est un nombre premier s'il admet exactement deux diviseurs dans N : 1 et lui-même. Théorème 1 Soit n ∈ N, n ⩾ 2. Si n n'est pas premier, il admet au moins un diviseur premier : son plus petit diviseur dans N autre que 1.
Les diviseurs de 18 sont : 1, 2, 3, 6, 9, 18. Les diviseurs de 27 sont : 1, 3, 9, 27.
Les diviseurs de 78 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 13 ; 26; 39 ; 78. Ceux de 208 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 13 ; 26; 52 ; 104 ; 208. 1 ; 2 ; 13 et 26 sont les diviseurs communs de 78 et 208. Le plus grand de ces diviseurs communs est 26 : 26 est le plus grand commun diviseur de 78 et de 208.
Quel est le plus grand commun diviseur des nombres 400, 122 et 98? 8.
Les nombres parfaits sont des entiers égaux à la somme de leurs diviseurs. Ainsi, 6 se divise par 2, 3 et 1. En additionnant 2, 3 et 1, on arrive à 6 ! Même chose pour 28, somme de 1 + 2 + 4 + 7 + 14.
Les nombres naturels, représentés par N , regroupent tous les nombres entiers compris entre 0 inclusivement et l'infini positif. On utilise parfois l'appellation nombres entiers naturels pour désigner cet ensemble. Les nombres naturels représentent tous les nombres entiers positifs.
Or, zéro n'a pas d'inverse puisque n'importe quel chiffre multiplié par zéro donne toujours zéro. Par conséquent, la division par zéro est impossible et aboutirait à des contresens mathématiques.
2 est un nombre premier car il n'est divisible que par 1 (2 ÷ 1 = 2) et par lui-même (2 ÷ 2 = 1) ; 4 n'est pas un nombre premier car il admet 3 diviseurs : 1, 2 et 4 ; 123 n'est pas un nombre premier, car il est divisible par 3. La division de 123 par 3 donne un quotient de 41, sans reste.
Ces deux nombres ont donc 22 × 3 en commun dans leurs décompositions en produit de facteurs premiers. Comme 22 × 3 = 12, le plus grand diviseur commun aux nombres 252 et 156 est donc 12.
Les diviseurs de 72 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 9 ; 12 ; 18 ; 24 ; 36; 72. En effet : 72 = 1 x 72 = 2 x 36 = 3 x 24 = 4 x 18 = 6 x 12 =8 x 9.
Le plus grand des diviseurs commun à 12 et 30 est 6 donc PGCD(12 ; 30) = 6. Remarque : il existe d'autres méthodes de détermination du PGCD de deux nombres entiers plus efficaces, notamment la méthode des soustractions successives et l'algorithme d'Euclide qui sont détaillées dans la fiche suivante.
1) Calculer le PGCD des nombres 135 et 210. Algorithme d'Euclide 210 = 135 x 1 + 75 135 = 75 x 1 + 60 75 = 60 x 1 + 15 60 = 15 x 4 + 0 Le dernier reste non nul est 15, donc PGCD (135 ; 210) = 15.
Calculer le plus grand commun diviseur de 140 et 870.
Donc 10 est le plus grand diviseur commun de 140 et 870.