Une équation différentielle est une équation qui établit un lien entre une fonction et une ou plusieurs de ses dérivées. Ce qui veut dire que la solution d'une équation différentielle est une fonction !
Définition : Une équation différentielle est une équation où l'inconnue est une fonction, et qui se présente sous la forme d'une relation entre cette fonction et ses dérivées. Ex : y^'+ay=0 avec a réel est une équation différentielle. f est une solution de l'équation différentielle.
Une équation différentielle particulièrement simple est l'équation y ′ = a y , où est une constante réelle. Elle modélise des situations très diverses, où la vitesse de variation d'une quantité est proportionnellle à cette quantité même : La taille d'une population ayant un taux d'accroissement constant.
S'interroger sur les paramètres qui influent sur la dérivée d'une grandeur physique, c'est chercher à établir une équation différentielle. La résoudre permet d'anticiper l'évolution d'un système. La mise en place d'une méthode numérique itérative permet de mieux ancrer l'idée du déterminisme et de la causalité.
Le terme œquatio differentialis ou équation différentielle est apparu pour la première fois sous la plume de Leibniz1 en 1676 pour définir la relation entre les différentielles dx et dy des deux variables x et y.
cosα cos(ωt) Les deux premières équations donnent la vitesse et le mouvement dans le plan xOy: ω = q B / m est la pulsation gyromagnétique. sinα, et de rayon R de giration constant.
Résoudre une telle équation différentielle, c'est trouver toutes les fonctions dérivables y définies sur I à valeurs dans R ou C vérifiant, pour tout x∈I x ∈ I , y′(x)+a(x)y(x)=b(x) y ′ ( x ) + a ( x ) y ( x ) = b ( x ) . Dans la suite, on supposera toujours que a,b sont continues sur I .
Une équation différentielle linéaire (du premier ordre) est une équation différentielle de la forme y′(x)=a(x)y(x)+b(x) y ′ ( x ) = a ( x ) y ( x ) + b ( x ) , où a et b sont des fonctions continues sur un intervalle I de R . Si a et b sont deux fonctions constantes, l'équation est dite à coefficients constants.
Si une fonction y = f ( x ) est dérivable en tout point d'un intervalle on définit la différentielle de cette fonction par : d f = f ′ ( x ) Δ x où est un accroissement arbitraire de la variable.
Pour savoir si une fonction donnée f est solution ou non d'une équation différentielle ( E ) , il suffit donc de remplacer y par f ( t ) et y ′ par f ′ ( t ) dans le premier membre de l'équation différentielle et de voir, après simplification, si on retrouve le second membre.
On appelle solution (ou intégrale) d'une équation différentielle d'ordre n sur un certain intervalle I de R, toute fonction y définie sur cet intervalle I, n fois dérivable en tout point de I et qui vérifie cette équation différentielle sur I.
Cas des 1-formes
Une 1-forme ω définie sur un ouvert U est exacte s'il existe une fonction F différentiable sur U telle que ω = dF autrement dit : si le champ de vecteurs par lequel ω est le produit scalaire est un champ de gradient.
l'équation différentielle (E0) : y′(x) + b(x) a(x) y(x) = 0 est l'ensemble des fonctions y définies sur I par y(x) = ke−G(x) où k est une constante réelle et G une primitive de le fonction γ(x) = b(x) a(x) . Si a et b par des constantes, on retrouve le théorème vu en terminale.
Les systèmes différentiels non linéaires dans le champ réel
On considère le système différentiel : où x ∈ R n, f (x, t ) une fonction à valeurs dans R n, t une variable réelle. On suppose f (x, t ) définie et continue dans l'ensemble −G × [t0, t0 + T], où G est un ensemble ouvert et borné dans R n.
La force de Lorentz présente deux caractéristiques :
Le champ magnétique est défini par la relation F → m = q v → ∧ B → qui fait intervenir un produit vectoriel.
Une équation différentielle est une relation entre une fonction et ses dérivées successives. L'ordre d'une équation différentielle correspond au degré maximal de dérivation de la fonction inconnue : Ainsi, une équation différentielle d'ordre 1 est une relation où interviennent une fonction et sa dérivée première.
Dans le cas d'un circuit RLC, l'équation différentielle obtenue est linéaire d'ordre 2, et la tension suit alors une évolution pouvant être caractérisée grâce à des fonctions trigonométriques.
Une équation est une égalité où les valeurs d'un ou de plusieurs nombres sont inconnues. Ces valeurs inconnues sont remplacées par des lettres. Par exemple, x + 2 = 6 x + 2 = 6 x+2=6x, plus, 2, equals, 6 est une équation. L'inconnue est x.
Le début d'une véritable théorie des équations est généralement attribué à Viète, mathématicien français de la fin du XVI e siècle.
Sa création est liée à une polémique entre deux mathématiciens : Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz. Néanmoins, on retrouve chez des mathématiciens plus anciens les prémices de ce type de calcul : Archimède, Thābit ibn Qurra, Pierre de Fermat et Isaac Barrow notamment.
Re : Différentielle et dérivée
Ce qu'il faut retenir : la différentielle en un point est une application linéaire, alors que la dérivée en un point est un nombre.