Les probabilités conditionnelles. On appelle probabilité conditionnelle la probabilité qu'un événement soit réalisé sachant qu'un autre a déjà ou non été réalisé. Les événements situés au moins en deuxième rang dans un arbre probabiliste dépendent de la réalisation, ou non, des événements du rang précédent.
On utilise la formule des probabilités totales pour calculer une probabilité p\left(F\right) lorsque la réalisation de F dépend de la réalisation d'autres événements. Une usine fabrique 80% de composés A et 20% de composés B. Un centième des composés A et 5% des composés B sont défectueux.
Pour calculer la probabilité d'un événement, vous pouvez simplement utiliser la formule générale de probabilité : P = n/N. Vous devez donc connaître le nombre d'issues favorables et le nombre total d'issues possibles.
Le théorème de Bayes est utilisé dans l'inférence statistique pour mettre à jour ou actualiser les estimations d'une probabilité ou d'un paramètre quelconque, à partir des observations et des lois de probabilité de ces observations.
La conception classique de la probabilité s'utilise dans le cas de situations prédéfinies considérées comme connues. Beaucoup de situations sont considérées comme aléatoires et équiprobables, c'est-à-dire que chaque événement élémentaire à la même chance d'apparaître.
La probabilité d'un événement caractérise la possibilité qu'il se produise. Lorsque nous ne sommes pas certains du résultat d'une expérience, on parle alors de la probabilité que des événements se réalisent—la chance qu'ils ont de se produire.
Donc on va diviser, multiplier/diviser le premier terme par la probabilité qu'on n'ait pas travaillé, le deuxième par la probabilité qu'on ait travaillé, pour faire apparaître ces probabilités conditionnelles. Et donc maintenant, on a des quantités qui sont connues d'après l'énoncé.
= P(A) + P(B) – P(A – B) C'est-à-dire que la probabilité que l'un ou l'autre des deux événements se produise est égale à la probabilité que le premier événement se produise, plus la probabilité que le second se produise, moins la probabilité que les deux se produisent.
E[X|B] = E[X1B] P(B) . Cette quantité est aussi l'espérance de X sous la probabilité P( |B), et elle s'interprète comme la valeur moyenne de X quand B est réalisé.
Elle a été introduite au XVIIIe siècle pour répondre au problème : quelle la probabilité que le Soleil se lève demain ?
La probabilité conditionnelle est la probabilité qu'un évènement B se produise sachant que l'évènement A s'est déjà produit. On la note P(B|A). P ( B | A ) .
Les probabilités conditionnelles peuvent être déterminées directement à partir de tableaux à double entrée. On peut également utiliser la formule de probabilité conditionnelle, 𝑃 ( 𝐵 ∣ 𝐴 ) = 𝑃 ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) 𝑃 ( 𝐴 ) , où 𝑃 ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) est la probabilité que 𝐴 et 𝐵 se produisent simultanément.
C'est à une œuvre de Thomas Bayes (1702-1761), publiée à titre posthume, que l'on doit la première théorie sur les probabilités conditionnelles.
Dans le langage courant, on dit que deux événements sont indépendants quand la réalisation de l'un ne dépend pas de celle de l'autre. On va donner une définition mathématique de cette notion. Deux évènements A et B sont dits indépendants si P(A B) = P(A) × P(B).
Deux événements sont indépendants si la réalisation de l'un n'apporte aucune information sur la réalisation de l'autre. Par exemple, si on lance une pièce de monnaie non truquée, la probabilité qu'elle tombe sur Face est égale à 1 / 2 1/2 1/2 .
PY|X=x(B)PX(dx), et cette relation caractérise la loi conditionnelle de Y sachant X. Si ce procédé ne s'étend pas au cas où X est quelconque, en raison de l'impossibilité de diviser par 0, il nous guide pour exporter cette notion de loi conditionnelle au cas général.
On dit que la variable X admet une espérance si la série (∑ x i P( X = x i )) converge. Dans ce cas l' espérance de X est la somme de cette série E( X ) = ∑ i =0+∞ x i P( X = x i ).
Deux évènements (A et B) sont compatibles s'ils ont un ou des éléments en commun. Pour que deux évènements soient compatibles, leur intersection ne doit pas être vide (A∩B≠∅) ( A ∩ B ≠ ∅ ) .
Ainsi, les valeurs prises par X sont : 1, 2, 3 et 4. Pour obtenir les probabilités associées, il suffit de compter les cases et utiliser le fait que chaque couple a une chance sur 16 de sortir. Un jeu consiste à lancer une pièce de monnaie bien équilibrée de 1 à 3 fois de suite.
Dans une expérience aléatoire à plusieurs étapes, il faut multiplier les probabilités lorsqu'on s'intéresse à un choix suivi d'un autre. Dans un diagramme en arbre, cette situation est représentée par 2 branches bout à bout. On lance 2 fois une pièce de monnaie.
Les QCM présentent de nombreux avantages mais doivent être utilisées de manière éclairée afin de garantir une réelle évaluation de la compétence. On retient qu'un QCM ou QRM d'une dizaine de “bonnes” questions avec 4 ou 5 choix possibles est déjà quasiment impossible de réussir au hasard.
On estime qu'à un concours, un candidat a 20% de chance de réussir.