Méthode n°2 : Une matrice A est inversible si et seulement si la famille formée par ses vecteurs colonnes est libre. Autrement dit, si vous remarquez une combinaison linéaire entre les vecteurs colonnes de la matrice A, alors cette famille est liée, donc elle n'est pas libre, donc A n'est pas inversible.
Dans ce cas : A est inversible si et seulement si ses coefficients diagonaux sont tous non nuls, et son inverse est la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont les inverses de ceux de A .
caractérisation d'une matrice inversible
Elle est inversible si et seulement son déterminant est non nul. De plus si est inversible, det ( M − 1 ) = [ det ( M ) ] − 1 .
Une matrice réelle dont toutes les colonnes sont orthogonales deux à deux est inversible si et seulement si elle n'a aucune colonne nulle. Un produit de deux matrices carrées est inversible si et seulement si les deux matrices en facteur le sont aussi.
Dans le cas de la matrice identité, l'inverse est la matrice identité. Néanmoins, si la valeur de l'élément est nulle, le déterminant est nul également. Essayer de calculer la réciproque de zéro génère l'infini, ce qui entraine que cette matrice n'a pas d'inverse.
La similitude est une relation d'équivalence. Deux matrices sont semblables si et seulement si elles représentent le même endomorphisme d'un espace vectoriel dans deux bases (éventuellement) différentes.
1. Une matrice A est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des sous-espaces propres est égale à l'ordre de la matrice. 2. Si une matrice carrée A d'ordre n admet n valeurs propres différentes, alors A est diagonalisable.
Une matrice A de Mn(K) M n ( K ) est dite inversible s'il existe B∈Mn(K) B ∈ M n ( K ) tel que AB=BA=In. A B = B A = I n . Une matrice B vérifiant la relation précédente est unique, elle s'appelle matrice inverse de A et se note A−1 .
Utiliser la réduction linéaire par rangées pour trouver une matrice inverse. Accolez la matrice identité à votre matrice. Inscrivez sur votre feuille la matrice de départ M sans l'accolade de droite, tirez un trait vertical à droite de celle-ci, inscrivez la matrice identité et fermez l'accolade.
La matrice M est diagonalisable si et seulement si la somme des multiplicités géométriques est égale à la taille de M. Or chaque multiplicité géométrique est toujours inférieure ou égale à la multiplicité algébrique correspondante.
Déterminant : si n ≥ 2, det(comA) = (detA)n–1. Comatrice de la comatrice : si n ≥ 2, com(comA) = (detA)n–2 A. Si P(X) = det(A – X In) est le polynôme caractéristique de A et si Q est le polynôme défini par Q(X) = (P(0) – P(X))/X, alors : t(comA) = Q(A).
On dit qu'une matrice carrée A est nilpotente s'il existe un entier naturel p tel que la matrice Ap soit nulle. L'indice de nilpotence est alors le plus petit p. et 0 l'endomorphisme nul.
Une matrice régulière d'ordre n est une matrice qui a le même nombre de lignes et de colonnes et son déterminant est non nul (0).
Naïvement on pourrait dire qu'une matrice A∈Mnp(K) est inversible à droite s'il existe une matrice B telle que la matrice AB existe et soit une matrice-unité. Si c'est le cas, alors cette matrice-unité est In, et B∈Mpn(K). De plus : n=rang(In)=rang(AB)≤rang(A)≤min(n,p)≤n.
Matrice diagonale
La diagonale principale d'une matrice carrée (ou d'un tableau carré de nombres) est l'ensemble des éléments dont l'indice de ligne et l'indice de colonne sont égaux. Une matrice est diagonale si tous les termes en dehors de sa diagonale principale dont nuls.
Il faut donc trouver tous les sous-espaces propres et additionner leurs dimensions pour savoir si une matrice est diagonalisable ou pas. Prenons par exemple une matrice 3 x 3 notée M. On nous dit que les valeurs propres sont 4 et 9. Il n'y a donc que 2 valeurs propres pour un espace de dimension 3.
Re : Diagonalisation de matrice 4*4
Donc c'est aussi det(B-xI). Les valeurs propres sont bien 1,1,-1,-1. Ensuite pour diagonaliser il faut trouver les vecteurs propres de 1, il faut résoudre Bv = 1v soit (B-1I)v = 0 (il y en a 2). Même chose pour -1: résoudre Bv = -1v soit (B+1I)v = 0, il y en a 2 aussi.
Deux matrices de même rang ne sont pas nécessairement semblables. Ainsi, Deux matrices semblables ont même déterminant. Rappelons qu'une matrice P ∈ Mn(R) est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.
Deux matrices semblables ont les mêmes valeurs propres. Les valeurs propres du produit de deux matrices sont les produits des valeurs propres des deux matrices. Si un vecteur est vecteur propre pour deux matrices, il est vecteur propre de leur produit.
Une matrice triangulaire supérieure dont les éléments diagonaux sont deux à deux distincts est diagonalisable. Ce n'est pas nécessairement le cas si les coefficient diagonaux ne sont pas distincts.
Une matrice scalaire est une matrice diagonale (à coefficients dans un anneau) dont tous les coefficients diagonaux sont égaux, c'est-à-dire de la forme λIn où λ est un scalaire et In la matrice identité d'ordre n.
Une matrice nilpotente n'est pas inversible. En effet, soit M une matrice nilpotente, d'indice p. On a alors Mp = 0 et Mp−1 = 0. Supposons M inversible alors Mp−1 = M−1.Mp = 0 c'est absurde.
– Si N est une matrice nilpotente et diagonalisable, alors N est semblable `a la matrice nulle, donc est nulle. Si N est nilpotente d'ordre p, etN = I + tN + t2 2!
Définition 5 Le polynome minimal d'une matrice A est un polynôme M de degré minimal tel que M(A) = 0 et de coefficient dominant égal à 1. Un tel polynome divise tous les polynomes tels que P(A) = 0, il divise le polynome caractéristique de A et il a les mêmes racines que le polynome caractéristique.