Le théorème d'Al-Kashi, ou théorème de Pythagore généralisé, ou encore loi des cosinus est un théorème mathématique qui est utilisé en géométrie pour connaître la longueur d'un côté, ou un angle, d'un triangle quelconque, à partir de la longueur des autres côtés et de la mesure de l'angle opposé.
Généralement, on utilise la loi des cosinus dans deux situations : lorsqu'on connait les mesures de deux côtés et de l'angle qu'ils forment dans le triangle ce qui permet de trouver la mesure du troisième côté (comme dans le triangle de gauche ci-dessous);
Grâce au produit scalaire on démontre ce théorème très rapidement. Dans le triangle ABC quelconque, on notera AH la hauteur issue de A, x la longueur HB et a-x la longueur CH. Dans le triangle ACH rectangle en H, par le théorème de Pythagore on a : b²=AH²+(a-x)² , on a donc b²=x²-c²+a²+x²-2ax.
On utilise cette loi quand on connait la mesure d'un angle et celle de son côté opposé ainsi que n'importe quelle autre valeur de côté (à gauche) ou d'angle (à droite) du triangle. En bref, il faut une paire (côté, angle) qui est complète.
On définit le cosinus comme étant le rapport entre le côté adjacent à l'angle par rapport à l'hypoténuse. Le sinus est le rapport entre le côté opposé à l'angle par rapport à l'hypoténuse.
La fonction sinus est utilisée couramment pour modéliser des phénomènes périodiques comme les ondes sonores ou lumineuses ou encore les variations de température au cours de l'année.
Le théorème pourra s'appliquer seulement dans deux cas (voir le schéma ci-dessous) : Deux droites sécantes et deux droites parallèles viennent former deux triangles distincts, reliés entre eux par un sommet.
Si l'on veut savoir si un triangle est rectangle, on utilise la relation de Pythagore. En effet, si la relation de Pythagore fonctionne, alors le triangle est rectangle. Sinon, il n'est pas rectangle.
Avec la reciproque de Thalès on peut savoir si les deux droites sont parallèles. Mais seulement si les cotes des triangles sont proportinnels deux a deux. Pythagore ce n'est qu'avec un triangle rectangle, il sert a connaitre la mesure d'un côté.
En géométrie, le calcul du cosinus d'un angle est utilisé en trigonométrie. Il peut servir par exemple à couper un gâteau en plusieurs parts parfaitement égales.
La fonction cosinus est utilisée couramment pour modéliser des phénomènes périodiques comme les ondes sonores ou lumineuses ou encore les variations de température au cours de l'année.
Intérêt : La formule du cosinus d'un angle dans un triangle rectangle permet de calculer soit la longueur d'un côté soit un des angles de ce triangle. Exemple 1 : Calcul de la longueur d'un des côtés d'un triangle rectangle : Dans un triangle ABC rectangle en A, l'hypoténuse [BC] mesure 6 cm, l'angle a pour mesure 40°.
On appelle formule d'Al-Kashi, ou loi des cosinus, ou encore théorème de Pythagore généralisé l'égalité suivante, valable dans tout triangle ABC A B C , qui relie la longueur des côtés en utilisant le cosinus d'un des angles du triangle : a2=b2+c2−2b⋅ccos(ˆA).
Le nom francisé du mathématicien perse Ghiyath Al-Kashi (1380-1429) apparut dans les années 1990 dans les manuels scolaires édités en France, les appellations théorème de Pythagore généralisé ou loi des cosinus étant utilisées jusque-là.
Nous allons donc construire un triangle intermédiaire, qui lui sera rectangle et donc beaucoup plus commode. A partir du point C, traçons un point J tel que [CJ] soit un diamètre de ce cercle (et donc CJ=2R). interceptent le même arc AB (en rouge sur la figure ci-dessous). , ce qui termine de prouver la loi des sinus !
Le théorème de Pythagore et sa réciproque s'utilisent dans des contextes différents: Le théorème de Pythagore permet de trouver la longueur d'un côté d'un triangle rectangle. La réciproque du théorème de Pythagore permet de vérifier qu'un triangle est rectangle.
Propriété pour démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle
Si le carré de la longueur du plus grand côté d'un triangle n'est aps égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors ce triangle n'est pas rectangle.
La réciproque du théorème de Pythagore
Si le carré de la mesure de son plus grand côté est égal à la somme des carrés des mesures des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle et le plus grand côté est son hypoténuse.
À un niveau plus élémentaire, le théorème de Thalès sert à calculer des longueurs en trigonométrie, à condition de disposer de deux droites parallèles. Cette propriété est utilisée dans des instruments de calcul de longueurs.
Ainsi, AB/AC = AE/AD, donc d'après le théorème de Thalès, (BE) et (CD) sont parallèles. En fait, si les points sont au milieu des segments, les fractions que l'on va calculer seront toujours égales à 1/2 (ou 2 si on prend la fraction inverse), et ce quelle que soit les longueurs de chaque côté.
Réciproque du théorème de Thalès
Montrer que les droites (AB) et (TE) sont parallèles. Les produits en croix sont égaux donc CD / AC = CE / BC. On sait également que les points A,D,C et B,E,C sont alignés dans le même ordre. Donc d'après la réciproque du théorème de Thalès (AB) et (DE) sont parallèles.
Les formules définissant le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle permettent de calculer des longueurs de côtés à partir de la mesure d'un des angles aigus et de la longueur d'un des côtés.
Pour calculer la mesure d'un angle avec le cosinus, on utilise l'inverse du cosinus. Par exemple, on cherche à calculer ABC avec AB = 1 et BC = 2. Sur la calculatrice, il faut utiliser la touche cos-1 ou bien la touche Arccos. = 2 Le cosinus permet également de calculer la longueur d'un côté d'un triangle.
On retiendra la petite astuce mnémotechnique : SOHCAHTOA. Elle permet de retenir les trois formules : sinus = opposé / hypoténuse, cosinus = adjacent / hypoténuse et tangente = opposé / adjacent. Le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle n'ont pas d'unité.