Quand utiliser le raisonnement par contre-exemple ? Il faut utiliser le raisonnement par contre-exemple quand nous voulons réfuter une affirmation plus générale.
Le raisonnement par contraposition s'appuie sur le fait qu'il y a équivalence entre une implication et sa contraposée : Exemple : Les fleurs de coquelicot sont rouges est équivalent à : ce qui n'est pas rouge ne peut être une fleur de coquelicot.
Quand un énoncé commence par « Pour tout… », il suffit, pour prouver qu'il est faux, de trouver un élément (« il existe… ») qui réalise les conditions imposées dans l'hypothèse sans que soit vérifiée la conclusion. C'est la donnée du contre-exemple.
Cette proposition peut également s'énoncer, de manière équivalente, comme suit : « Si B est fausse, alors A est fausse. » Ou encore : « Si non(B) est vraie, alors non(A) est vraie. » Cet énoncé est appelé la contraposée de la première proposition.
Si on a égalité de fractions, alors les droites sont parallèles. Contraposée : Si les fractions ne sont pas égales, alors les droites ne sont pas parallèles.
Définition de la réciproque
Quand on a une propriété qui s'écrit "Si A alors B", la réciproque serait "Si B alors A". "Si ce mammifère est l'Homme alors ce mammifère peut parler." "Si cet animal est l'Homme alors cet animal peut parler." Fausse car les perroquets parlent aussi.
La réciproque du théorème Pythagore dit que « si un triangle est rectangle, alors le carré de la plus grande longueur (l'hypoténuse) est égale à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés ». La réciproque de Pythagore permet donc de montrer si un triangle est rectangle.
La contradiction est une relation existant entre deux ou plusieurs termes ou deux ou plusieurs propositions dont l'un(e) affirme ce que l'autre nie : « A » et « non-A » sont contradictoires, les phrases « Tous les hommes sont barbus » et « Quelques hommes ne sont pas barbus » sont contradictoires.
Il consiste à s'appuyer sur une analogie, une ressemblance ou une association d'idées entre deux situations, par exemple passée/présente, connue/inconnue, etc., à procéder à une comparaison et à aboutir à une conclusion en appliquant à la seconde situation une caractéristique de la première.
Une contraposée se présente comme : "Si non B alors non A". Logique ! Si la conséquence est fausse alors il n'y a pas de cause. Dans le théorème, la partie A est "Si un triangle est rectangle" et la partie B est "alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des 2 autres côtés".
Il faut examiner les nombres premiers et voir s'il en existe un qui n'est pas impair. Le nombre 2 est un contre-exemple (et le seul contre-exemple) car il est un nombre premier, mais il est pair. Trouvons un contre-exemple à l'affirmation suivante : ( a + b ) 2 = a 2 + b 2 pour tous nombres réels et .
Exemples : “Il existe un réel x tel que x2 = 0" est une proposition vraie (il y a exactement un réel x tel que x2 = 0, donc il y en a au moins un.) En revanche, la proposition “Il existe un réel x tel que x2 = −1" est une proposition fausse.
Une proposition (ou assertion) est un énoncé mathématique qui peut prendre deux valeurs : vrai (V) ou faux (F). non P est fausse lorsque P est vraie. P et Q est fausse lorsque l'une au moins des deux propositions est fausse. P ou Q est fausse lorsque P et Q sont fausses.
Les genres argumentatifs. Le raisonnement par syllogisme.
Raisonnement déductif • Raisonnement par disjonction de cas • Raisonnement par l'absurde • Raisonnement par contre-exemple • Raisonnement par présomption et induction.
Raisonnement inductif
On formule des hypothèses, considérée comme vraies, basées sur ces observations et on tire des conclusions. Aristote donnait l'exemple suivant : « Si un navire suit une côte et se retrouve au même endroit, on peut en induire que la terre qu'il a longée est une île ».
Le raisonnement par l'absurde consiste à supposer que A est vraie et que B est fausse. On aboutit alors à une contradiction, ce qui entraîne que B doit être nécessairement vraie.
● Le raisonnement a contrario
En cas d'interprétation a contrario, on considère que lorsque le texte dit quelque chose, il est censé nier le contraire (qui dicit de uno negat de altero). Quand un objet est inclus dans une règle de droit, son contraire en est exclu (inclusione unius fit exclusione alterius).
Un paradoxe, du grec para, « contre », et doxa, « opinion », est une idée qui va à l'encontre de l'opinion commune. Cette figure de style repose sur le rapprochement de mots opposés (antithèse) au sein d'une expression dépourvue de sens logique… Du moins en apparence !
Il signifie également Opposition, incompatibilité entre deux ou plusieurs choses, ou entre les éléments d'une même chose. Être et n'être pas implique contradiction. Il y a contradiction entre ces deux propositions. Cette contradiction n'est qu'apparente.
Les «obstineux» compulsifs.
Le théorème de Thalès sert donc à calculer les longueurs dans une figure géométrique composée de triangles.
Pour cela, il va falloir calculer AE/AD dans un premier temps et calculer ensuite BE/CD. Ainsi AE/AD = BE/CD donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, les deux droites sont parallèles. Si les résultats obtenus après calcul sont différents, cela signifie que les deux droites ne sont pas parallèles.
Le théorème de Thalès permet donc de calculer des distances dans une configuration géométrique comportant des droites parallèles. Ce théorème implique donc qu'il ne peut pas être utilisé pour les triangles rectangles. Si un triangle est rectangle, c'est qu'il ne possède pas de droites parallèles.