Le théorème de Bernoulli pose la base de la dynamique des fluides et plus généralement de la mécanique des fluides. Il permet d'expliquer de nombreux phénomènes, notamment en aérodynamique.
La loi binomiale est utilisée en probabilité pour modéliser des situations de succès/échec répétées de manière indépendante.
Si un liquide s'écoule dans une canalisation, alors comme il est incompressible, son débit (volume transitant à travers une surface par unité de temps) est constant. Si la canalisation s'élargit, alors la vitesse diminue (puisque le débit est le produit de la vitesse par la section, les deux varient à l'inverse).
La loi de probabilité donnant le nombre de succès sur ces n répétitions est la loi binomiale de paramètres n et p (notée B(n;p)). Il s'agit en fait d'une généralisation de la loi de Bernoulli dans le cas où l'on répète plusieurs fois l'expérience.
Utilisez la loi hypergéométrique avec des populations très faibles afin que le résultat d'un essai ait un effet important sur la probabilité selon laquelle le résultat suivant sera un événement ou un non-événement. Par exemple, dans une population de 10 personnes, 7 sont du groupe sanguin O+.
B
Une variable aléatoire X est une variable aléatoire de Bernoulli lorsqu'elle est à valeurs dans {0;1} où la valeur 1 est attribuée au succès. On dit alors que X suit la loi de Bernoulli de paramètre p. Autrement dit, on a P(X=1)=p et P(X=0)=1−p.
En théorie des probabilités et en statistique, les lois normales sont parmi les lois de probabilité les plus utilisées pour modéliser des phénomènes naturels issus de plusieurs événements aléatoires.
Qu'énonce le principe de Bernoulli ? L'énoncé du principe de Bernoulli est le suivant : « Dans un fluide s'écoulant horizontalement, la pression du fluide aux points où sa vitesse est élevée, est plus faible que la pression du fluide aux points où sa vitesse est plus faible. »
Jacques Bernoulli Bâle, 27 décembre 1654 - Bâle, 16 août 1705.
C'est Jacques Bernoulli qui, le premier, donne un sens mathématique à ce résultat et le démontre dans le cas d'épreuves indépendantes (partie 4 de l'Ars Conjectandi).
Cette augmentation de vitesse entraîne donc, en vertu de la loi de Bernoulli, une diminution de la pression. L'effet Bernoulli correspond à un phénomène bien connu en physique : lorsqu'il s'écoule dans un tube, un liquide exerce une pression négative sur les parois du tube.
En résumé, pour justifier que X suit une loi binomiale, il suffit de dire que : on répète des épreuves identiques et indépendantes. chaque épreuve comporte deux issues (Succès ou Echec). X compte le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.
La loi binomiale négative est une loi de probabilité proche de la loi géométrique. Cette dernière s'applique à une variable discrète qui compte le nombre d'essais avant d'arriver à un succès (de probabilité p).
On peut interpréter l'espérance mathématique de la variable comme le gain moyen que l'on peut espérer d'un jeu si l'on joue un très grand nombre de fois. C'est le « gain moyen ». Si E(x) = 0 le jeu est dit équitable, si E(x) > 0 le jeu et dit favorable (au joueur) et si E(x) < 0 le jeu et dit défavorable (au joueur).
En pratique, pour calculer une probabilité avec une loi binomiale, On repère bien les valeurs de n, p et k. On écrit la formule P(X=k)=(nk)×pk×(1−p)n−k avec les valeurs précédentes.
Un schéma de Bernoulli d'ordre n est la répétition, d'une manière indépendante, d'une épreuve de Bernoulli n fois. On lance trois fois de suite une pièce truquée pour laquelle la probabilité d'obtenir pile est . On note X le nombre de fois qu'on obtient pile lors de ces trois lancers.
On utilise parfois la notation bn pour distinguer les nombres de Bernoulli des nombres de Bell. La définition employée dans cet article vérifie Bm = Bm(0) où Bm(x) désigne le polynôme de Bernoulli. On rencontre également la convention Bm = Bm(1), où Bm(x) désigne le polynôme de Bernoulli.
Famille suisse de savants, originaire d'Anvers, réfugiée à Bâle depuis la fin du xvie s. Étudiant en théologie, Jacques Ier Bernoulli (Bâle 1654-Bâle 1705) se prend de passion pour les mathématiques, qu'il apprend seul.
On considère un fluide quelconque (liquide ou gaz). Il s'établit un équilibre hydrostatique lorsque la variation de pression dans le fluide avec l'altitude est proportionnelle à l'accélération de la pesanteur et à la masse volumique du système en équilibre.
Les liquides sont des fluides incompressibles (eau, huile, mercure, etc.). Si on ferme l'orifice d'une seringue avec un doigt et qu'on essaie de pousser pour comprimer l'eau, l'eau ne se comprimera pas: elle essaiera de sortir par l'orifice.
Un fluide est un milieu matériel parfaitement déformable. On regroupe sous cette appellation les liquides, les gaz et les plasmas. Gaz et plasmas sont très compressibles, tandis que les liquides le sont très peu (à peine plus que les solides).
Définition du test de Student
Le test de Student est un outil permettant de vérifier une hypothèse formulée sur un jeu de données. Il est principalement utilisé lorsque l'on sait que l'échantillon de données est supposé suivre une loi normale, comme lorsque l'on joue 100 fois de suite au pile ou face.
L'objectif étant de pouvoir mieux comparer les variations, centrer-réduire est une action souvent utilisée dans l'analyse de données à l'occasion d'analyses marketing par exemple.
La courbe de Gauss, ou courbe de la loi normale ou encore courbe en cloche, permet une représentation graphique de la distribution d'une série. Elle permet tout particulièrement de représenter la densité de mesure d'une série statistique.
Par exemple, si un certain type d'événements se produit en moyenne 4 fois par minute, pour étudier le nombre d'événements se produisant dans un laps de temps de 10 minutes, on choisit comme modèle une loi de Poisson de paramètre λ = 10×4 = 40.