Les logarithmes sont des fonctions mathématiques que l'on apprend aux élèves de lycée, qui parfois se demandent ce qu'elles peuvent bien apporter dans la vie quotidienne.
La fonction logarithme permet de remplacer une multiplication par une addition, ou une division par une soustraction. Avant l'avènement des calculettes, la règle à calculer permettait de faire des multiplications ou des divisions, en additionnant ou en soustrayant des longueurs, proportionnelles à des logarithmes.
Exemple : Le logarithme en base 10 de 1000 est 3 car 103 = 10×10×10 = 1000. Dans ce cas, le plus simple, le logarithme est le nombre entier qui compte les répétitions de la base multipliée par elle-même. Dans cette opération, multiplier un nombre par la base équivaut à ajouter 1 à son logarithme.
Le logarithme est de cette manière introduit très naturellement comme étant la puissance de 10 apparaissant dans l'écriture d'un nombre en notation scientifique (exponentielle en base 10). Après avoir traité le cas des puissances entières de 10 nous passons au logarithme de n'importe quel nombre (positif).
La fonction logarithme décimal transforme un produit en une somme, cela va permettre de simplifier les calculs.
Aujourd'hui, on utilise l'échelle logarithmique dans de nombreux domaines. Par exemple, l'échelle des pH en chimie, les décibels pour mesurer le son, l'échelle de Richter pour la magnitude d'un séisme.
Quelle est la différence entre log et ln ? log est employé lorsque la base est 10 et ln est utilisé lorsque la base est e.
La fonction inverse du logarithme est l'exponentielle. Par exemple pour le logarithme naturel ou népérien généralement noté ln(x), on a e ^ ln(x) = x ou pour le logarithme en base 10, on a 10 ^ logdécimal(x) = x. Vous pouvez facilement le vérifier sur une calculatrice scientifique.
La fonction ainsi définie (appelée logarithme décimal ou logarithme vulgaire, et notée log ou log10) permet de transcrire le tableau précédent de la manière suivante : log (1) = log (100) = 0 log (10) = log (101) = 1 log (100) = log (102) = 2 log (1000) = log (103) = 3 …
Ainsi, Napier invente les logarithmes, qui ont pour objectif de substituer aux multiplications et aux divisions, des additions et des soustractions.
L'utilisation de telles fonctions permet de faciliter les calculs comprenant de nombreuses multiplications, divisions et élévations à des puissances rationnelles. Il est souvent noté ln(). Le logarithme naturel ou népérien est dit de base e car ln(e) = 1.
Afin de résoudre une inéquation du type \ln\left(u\left(x\right)\right) \geq k, on applique la fonction exponentielle des deux côtés pour faire disparaître le logarithme.
Fils d'une riche famille noble écossaise, John Napier (parfois Neper) (1550-1617) se passionne pour les mathématiques.
Le mathématicien écossais John Napier (1550 ; 1617), plus connu sous le nom francisé de Neper, est le célèbre inventeur des logarithmes, qu'il décrivit en 1614 dans son ouvrage « Description de la merveilleuse règle des logarithmes » .
La fonction qui à tout nombre x strictement positif associe log x est appelée fonction logarithme décimal. Pour trouver des valeurs, il faudra utiliser la touche log de votre calculatrice. Sachant que log 2 ≈ 0,301, calculer log 5. Comme 10 = 2×5 alors log 10 = log(2×5).
Le logarithme d'une puissance xy est égal au produit de l'exposant y par le logarithme de x en base b : logb(xy)=ylogb(x), si x>0.
Utilisez la touche pour saisir logab comme log (a,b). La base 10 correspond au paramétrage par défaut si vous ne saisissez rien pour a. La touche peut aussi être utilisée pour la saisie, mais seulement si l'affichage Naturel est sélectionné.
L'exponentielle n'est jamais nulle, donc le logarithme népérien de zéro n'a pas de sens. Il n'est pas défini.
Attention : Pas de logarithme de nombres négatifs !
Il apparaît clairement sur la figure que si a ≤ 0 , la droite rouge d'équation ne rencontre pas la courbe bleue de l'exponentielle. Il n'y a donc pas de point d'intersection donc pas de logarithme pour les nombres négatifs.
Abréviation usuelle du logarithme népérien (également appelé logarithme naturel) ou de la fonction correspondante.
Le logarithme naturel est défini comme le logarithme en base e, où e est la constante mathématique appelée le nombre d'Euler. Pour répondre à votre question, ln(1) est égal à zéro.
- log(N) = ln(N)/ln(10). -> C'est une formule de passage entre les différent logarithmes. Elle se généralise aux logarithmes de toutes bases.
Comment passer de exponentielle à ln ? L'exponentielle est l'inverse du logarithme népérien. Donc, si y = ex, nous pouvons déduire que x = ln y.