Le théorème spectral en dimension finie en déduit que toute matrice symétrique à coefficients réels est diagonalisable à l'aide d'une matrice de passage orthogonale, car les valeurs propres d'un endomorphisme autoadjoint sont réelles et ses sous-espaces propres sont orthogonaux.
Toute matrice symétrique réelle est diagonalisable. Les sous-espaces propres d'un endomorphisme symétrique f ∈ L(E)/ d'une matrice symétrique sont 2 `a 2 orthogonaux. Tout endomorphisme symétrique f ∈ L(E) est diagonalisable dans une base orthonormée.
Une condition (nécessaire et) suffisante pour qu'un ensemble de matrices diagonalisables soit simultanément diagonalisable est que toutes les matrices de l'ensemble commutent deux à deux. qui est scindé à racines simples sur le corps des complexes. Donc chaque matrice de la représentation est diagonalisable.
Pour démontrer qu'une matrice A est diagonalisable, la méthode la plus classique consiste à calculer le polynôme caractéristique χA et à le factoriser pour déterminer les valeurs propres de A . Si χA n'est pas scindé, A n'est pas diagonalisable. Si χA est scindé à racines simples, A est diagonalisable.
Donc les matrices symetriques ne sont pas obligatoirement inversibles.
En algèbre linéaire et multilinéaire, une matrice symétrique est une matrice carrée qui est égale à sa propre transposée, c'est-à-dire telle que ai,j = aj,i pour tous i et j compris entre 1 et n, où les ai,j sont les coefficients de la matrice et n est son ordre.
1.1.
En dimension 2, le déterminant est très simple à calculer : det a b c d = ad − bc. C'est donc le produit des éléments sur la diagonale principale (en bleu) moins le produit des éléments sur l'autre diagonale (en orange).
Le déterminant d'une matrice diagonale est le produit des coefficients diagonaux. Le produit de deux matrices diagonales est une matrice diagonale. est dite diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale.
Si une matrice A a autant de valeurs propres que la dimension de l'espace, alors A est diagonalisable. Cela peut aussi se dire : si le polynôme caractéristique de A est scindé à racines simples, alors A est diagonalisable (la multiplicité de chaque racine est 1).
La matrice carrée nulle est non-inversible et diagonalisable. Elle est même diagonale. En revanche une matrice carrée est inversible si et seulement si elle n'admet pas 0 pour valeur propre. Ensuite la déterminant d'une matrice non carrée n'existe pas.
La diagonalisation de matrices sert surtout en physique (via le théorème spectral) pour déterminer certaines caractèristiques invariantes de systèmes. (Comme en mathématique on détermine les vecteurs invariants à un facteur près sous une une application linéaire, appelés vecteurs propres).
En algèbre linéaire, la diagonale principale d'une matrice carrée est la diagonale qui descend du coin en haut à gauche jusqu'au coin en bas à droite.
Pour diagonaliser une matrice, une méthode de diagonalisation consiste à calculer ses vecteurs propres et ses valeurs propres. La matrice diagonale D est composée des valeurs propres. La matrice inversible P est composée des vecteurs propres dans le même ordre de colonnes que les valeurs propres associées.
Définition 1.6 (Matrice définie positive) Une matrice symétrique A dont les éléments sont des nombres réels, est définie positive si pour tout vecteur x ∈ Rn non nul on a xT Ax > 0.
Une matrice réelle dont toutes les colonnes sont orthogonales deux à deux est inversible si et seulement si elle n'a aucune colonne nulle. Un produit de deux matrices carrées est inversible si et seulement si les deux matrices en facteur le sont aussi.
La similitude est une relation d'équivalence. Deux matrices sont semblables si et seulement si elles représentent le même endomorphisme d'un espace vectoriel dans deux bases (éventuellement) différentes.
Une matrice scalaire est une matrice diagonale (à coefficients dans un anneau) dont tous les coefficients diagonaux sont égaux, c'est-à-dire de la forme λIn où λ est un scalaire et In la matrice identité d'ordre n.
Une matrice triangulaire supérieure dont les éléments diagonaux sont deux à deux distincts est diagonalisable. Ce n'est pas nécessairement le cas si les coefficient diagonaux ne sont pas distincts.
Re : Diagonalisation de matrice 4*4
Donc c'est aussi det(B-xI). Les valeurs propres sont bien 1,1,-1,-1. Ensuite pour diagonaliser il faut trouver les vecteurs propres de 1, il faut résoudre Bv = 1v soit (B-1I)v = 0 (il y en a 2). Même chose pour -1: résoudre Bv = -1v soit (B+1I)v = 0, il y en a 2 aussi.
On dit qu'une matrice carrée A est nilpotente s'il existe un entier naturel p tel que la matrice Ap soit nulle. L'indice de nilpotence est alors le plus petit p. et 0 l'endomorphisme nul.
Le polynome caractéristique (ou polynome annulateur ou parfois déterminant séculaire) P d'une matrice carrée M de taille n×n n × n est le polynome défini par PM(x)=det(M−x.In)(1) I n ) ou PM(x)=det(x.In−M)(2) I n − M ) avec In la matrice identité de taille n (et det le déterminant matriciel).
Une matrice positive est définie positive si et seulement si sa racine carrée positive est inversible. Cette propriété est utilisée pour la décomposition polaire (voir infra). Inégalité de Hadamard : le déterminant d'une matrice définie positive est inférieur ou égal au produit de ses éléments diagonaux.
Une matrice symétrique A est dite « définie positive » si pour tout vecteur X n 1, le produit X AX 0. Elle est « semi-définie positive » si X AX 0 pour tout X. Une matrice symétrique est dite « définie négative » si pour tout vecteur X n 1), le produit X AX 0. Elle est « semi-définie négative » si X AX 0 pour tout X.
La matrice est "encadrée" par des parenthèses (ou des crochets dans certains exer- cices). – Si A est une matrice de dimension m × n, on note généralement aij le coefficient qui se trouve à la ième ligne et dans la jème colonne de la matrice, où 1 ≤ i ≤ m et 1 ≤ j ≤ n. , est une matrice de 3 lignes et 4 colonnes.
Définition. Une matrice carrée A à coefficients dans un anneau quelconque est dite antisymétrique si sa transposée est égale à son opposée, c'est-à-dire si elle satisfait à l'équation : A⊤ = –A.