Puisqu'une telle descente infinie est impossible, notre hypothèse de départ (x est rationnel) ne peut être vraie (il n'existe pas deux entiers dont le quotient soit égal au nombre d'or). Par conséquent, on a bien montré que le nombre d'or est irrationnel.
Ces nombres ne peuvent pas s'exprimer comme le quotient de deux entiers. Les nombres irrationnels ne peuvent être exprimés comme une fraction d'entiers, car on ne peut exprimer un nombre dont le développement décimal est non périodique en fraction.
Le nombre d'or, aussi appelé ratio d'or, est un concept mathématique qui donne le nombre irrationnel phi ou Φ, qui équivaut approximativement à 1,618. Il provient de la séquence de Fibonacci, qui est une série de nombres dans laquelle le nombre suivant est la somme des deux nombres précédents.
En raisonnant par l'absurde, on se propose de montrer que le nombre e est irrationnel. Pour ce faire, on suppose qu'il existe deux entiers naturels non nuls p, q premiers entre eux tels que e = p q . (a) Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, on a : un <e<vn. (b) En déduire que : q!
On le note φ (phi) en hommage au sculpteur grec Phidias (Ve siècle avant J.C.) qui participa à la décoration du Parthénon sur l'Acropole à Athènes.
Le nombre d'or, appelé phi, est le seul nombre positif qui est égal à son inverse augmenté de l'unité. L'inverse est, en effet, 0,618 033 989... Les rapports successifs de deux nombres de Fibonacci consécutifs se rapprochent de plus en plus de cet inverse.
Le mathématicien italien Leonardo Pisano, dit Fibonacci, né en 1175, est parvenu à élaborer une suite, que l'on appelle communément la suite de Fibonacci. Elle repose sur le fait de diviser un terme par le précédent, chaque nouveau résultat s'approchant de plus en plus… du nombre d'or.
Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas s'écrire sous forme d'une fraction de deux entiers relatifs. Les nombres qui ne sont pas irrationnels sont rationnels. Un nombre réel est donc soit rationnel soit irrationnel.
Ils sont donc tous les deux divisibles par 2 et ne sont donc pas premiers entre eux (car ils ont un diviseur commun différent de 1 et −1). Ceci est une contradiction (étape n°2). Ainsi, √2 ne peut pas être un nombre rationnel ; c'est donc un nombre irrationnel.
Dans les années 1760, Johann Heinrich Lambert a été le premier à prouver que le nombre π est irrationnel, c'est-à-dire qu'il ne peut pas s'écrire sous forme d'une fraction a/b, avec a et b entiers non nuls.
Occasion pour Léonard de Vinci de mettre en lumière ce que Johannes Kepler appelait le « joyau de la géométrie », le nombre d'or serait vu comme le coefficient de proportion parfaite, symbole de l'harmonie suprême de toute chose.
L'expression « nombre d'or » évoque la loi unique d'une harmonie universelle et le symbole même du beau. Il symboliserait la perfection, donnerait une explication universelle du sentiment esthétique, résumerait la géométrie de la beauté.
Plus on avance dans la suite de Fibonacci, plus l'écart entre le rapport de deux de ses termes successifs et le nombre d'or s'amenuise. Par exemple, 21/13= 1,615…, alors que le rapport suivant s'en rapproche davantage, 34/21=1,619…, et ceci de manière infinie.
Le ralentissement du progrès scientifique qui en découle provoque une augmentation des risques de survie de l'espèce par ignorance des faits, ce qui favorise d'autant les comportements irrationnels!
Donc 1/3 est de la forme a/10^n avec a entier positif. Donc 3a=10^n avec a entier positif. Donc 10^n est un multiple de 3. Comme la somme des chiffres de 10^n est 1 et que 1 n'est pas un multiple de 3, alors 10^n n'est pas un multiple de 3.
Preuve de l'irrationalité
Supposons que √5 est rationnel et écrivons-le sous la forme d'une fraction irréductible m/n (c'est-à-dire que m et n sont premiers entre eux : PGCD(m, n) = 1). L'hypothèse √5 = m/n conduit à 5n2 = m2. Ainsi, 5 divise m2, donc divise m d'après le lemme d'Euclide.
Définition : Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas s'écrire à l'aide d'une fraction. Exemples : √2, √3 ou encore sont des nombres irrationnels. Ils ne peuvent pas s'écrire sous la forme d'une fraction. Définition : Un nombre réel est un nombre rationnel ou irrationnel.
Comme 3 est premier, 3 diviserait p d'o`u l'existence de p ∈ N tel que p = 3p . En reportant dans l'égalité (⋆), on aurait 3p 2 = q2 donc 3 diviserait q, ce qui contredit (p, q) premiers ente eux. La contradiction assure que √ 3 est irrationnel.
Un nombre entier peut toujours s'écrire sous la forme d'une fraction dont le dénominateur est 1. Tous les nombres entiers sont donc des nombres rationnels. Le nombre entier "3" est un nombre rationnel.
Un nombre est rationnel s'il peut s'écrire sous la forme d'un quotient de deux entiers. L'ensemble des nombres rationnels se note Q. Inversement, un nombre est irrationnel lorsqu'il n'est pas rationnel, c'est à dire qu'il ne peut s'écrire sous forme de fraction.
Un nombre est rationnel si et seulement si son développement en fraction continue est fini. Cette méthode est à l'origine des premières démonstrations de l'irrationalité de la base e du logarithme népérien et de π. (où l'on a des séquences de '2' de plus en plus longues) est irrationnel car il n'y a pas de période.
Les nombres rationnels et les ensembles de nombres
S'il est impossible d'écrire un nombre sous la forme d'une fraction, celui-ci fait donc partie des nombres irrationnels. 34 est une fraction de la forme ab dont le développement décimal est 0,75 . C'est donc un nombre rationnel.
Le premier nombre parfait est 6. En effet 1, 2 et 3 sont les diviseurs propres de 6 et 1+2+3=6. 28 est également un nombre parfait : 1+2+4+7+14=28. Les nombres parfaits sont rares, il n'en existe que trois inférieurs à 1000 qui sont 6, 28 et 496.
Le symbole du nombre d'or est Φ (ou φ en minuscule). Il s'agit de la lettre grecque Phi, en rapport avec les initiales de Phidias.
On le rencontre partout dans la nature, les plantes, dans les proportions entre la diagonale et le côté du pentagone régulier ou encore en architecture, dans les proportions des différentes parties du Parthénon et même dans la pyramide de Khéops.