La dérivée seconde est la dérivée de la dérivée d'une fonction, lorsqu'elle est définie. Elle permet de mesurer l'évolution des taux de variations. Par exemple, la dérivée seconde du déplacement par rapport au temps est la variation de la vitesse (taux de variation du déplacement), soit l'accélération.
La dérivée permet de d'étudier les variations d'une fonction sur son domaine de définition. En terminale ES, la dérivée sert à déterminer les variations de la fonction.
La dérivée seconde peut également être utilisée pour déterminer la nature d'un point stationnaire. Cependant, la règle de la dérivée seconde se limite à l'étude des points stationnaires. Soit la fonction et ∗ un point stationnaire de celle-ci.
Graphiquement, la dérivée d'une fonction correspond à la pente de sa droite tangente en un point spécifique. L'illustration qui suit permet de visualiser la droite tangente (en bleu) d'une fonction quelconque en deux points distincts. Remarquez que l'inclinaison de la droite tangente varie d'un point à l'autre.
Afin de calculer la dérivée seconde d'une fonction f, on dérive deux fois f. Déterminer f'', la dérivée seconde de f.
Lorsque la dérivée seconde de la fonction change de signe, la fonction ? a un point d'inflexion et sa courbe, jusqu'alors sous ses tangentes, passe au-dessus de ses tangentes. Ainsi, on peut utiliser les courbes d'équations ? = ? ′ ( ? ) et ? = ? ′ ′ ( ? ) pour déduire des informations sur la fonction ? .
La fonction f est convexe sur I si sa dérivée f ' est croissante sur I, soit f ''(x) ≥ 0 pour tout x de I. La fonction f est concave sur I si sa dérivée f ' est décroissante sur I, soit f ''(x) ≤ 0 pour tout x de I.
Plus précisément, une dérivée est une expression (numérique ou algébrique) donnant le rapport entre les variations infinitésimales de la fonction et les variations infinitésimales de son argument. Par exemple, la vitesse. est la dérivée. du déplacement.
Soit h un nombre réel tel que a + h a+h a+h appartienne à I. On dit que f est dérivable en a si le taux d'accroissement de f en a admet pour limite un nombre réel lorsque h tend vers zéro. Ce nombre, noté f ′ ( a ) f'(a) f′(a) est appelé nombre dérivé de f en a.
Ce sont des mots dérivés. Un mot dérivé est un mot simple qu'on a allongé. Si le mot dérivé est allongé par la fin, on dit qu'on a ajouté un suffixe. Si le mot dérivé est allongé au début, on dit qu'on a ajouté un préfixe.
A retenir : a est l'abscisse d'un point d'inflexion de la courbe si la dérivée seconde s'annule en changeant de signe en a. Si la dérivée première s'annule en changeant de signe en a, alors a est l'abscisse d'un extremum.
Pour dériver ce type de fonctions, c'est extrêmement simple !! On dérive comme si c'était un x et non un u, et on multiplie toujours par u' !! Comme tu le vois c'est EXACTEMENT le même tableau que précédemment mais on a remplacé x par u, et on a multiplié à chaque fois la dérivée par u'.
Si une fonction "f" est dériable sur un intervalle I alors: Si sa dérivée est positive sur cet intervalle alors la fonction y est croissante. Si sa dérivée est négative sur cet intervalle alors la focnction y est décroissante. Si sa dérivée est nulle sur cet intervalle alors la fonction y est constante.
Re : Différentielle et dérivée
Ce qu'il faut retenir : la différentielle en un point est une application linéaire, alors que la dérivée en un point est un nombre.
La dérivée de 2x est égale à 2.
Utilisation de la dérivée en sciences physiques
1- En mathématique, la notation y = f(x) signifie que y est une grandeur qui dépend d'une autre grandeur, notée x. Dans la représentation graphique, y représente l'ordonnée et x l'abscisse. La dérivée première de la fonction est notée y'(x) et sa dérivée seconde y"(x).
si la dérivée est nulle sur tout l'intervalle, la fonction est constante sur cet intervalle. Exemple : la fonction est définie sur . Sa dérivée est toujours positive (ou nulle pour x = 0).
La dérivée de 1 est nulle, car c'est une constante.
Pour lire graphiquement le nombre dérivé de f en a, on lit le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a ou on le calcule avec la formule xB−xAyB−yA avec (AB) tangente en A à la courbe de f.
– si f est dérivable en x0, et si λ est un réel, alors λf est dérivable en x0, de dérivée λf (x0). – une fonction constante est partout dérivable, de dérivée nulle. – une fonction affine f : x ↦→ ax + b est partout dérivable, et f (x0) = a pour tout x0.
On appelle argument formel d'une fonction une variable particulière, utilisée dans le corps de la fonction, et dont la valeur est donnée dans le programme principal au moment où la fonction est appelée.
En utilisant f'
Étudier la convexité d'une fonction revient à déterminer les intervalles sur lesquels elle est convexe et ceux sur lesquels elle est concave. Une fonction dérivable f est convexe lorsque sa dérivée est croissante et concave lorsque sa dérivée est décroissante.
Leibniz : Fonctions concaves et convexes – L'Économie.
En mathématiques, et plus précisément en analyse et en géométrie différentielle, un point d'inflexion est un point où s'opère un changement de concavité d'une courbe plane. En un tel point, la tangente traverse la courbe.