J. -C. , les mathématiciens grecs ont montré que la diagonale d'un carré et son côté étaient incommensurables, ce qui revient à dire que √2 est un irrationnel.
Ils sont donc tous les deux divisibles par 2 et ne sont donc pas premiers entre eux (car ils ont un diviseur commun différent de 1 et −1). Ceci est une contradiction (étape n°2). Ainsi, √2 ne peut pas être un nombre rationnel ; c'est donc un nombre irrationnel.
Contrairement à d'autres nombres comme 0 ou 2,49, √2 ne peut pas s'écrire comme une fraction (on dit qu'il est irrationnel) : il a un nombre infini de chiffres après la virgule. Une valeur approchée (à seulement 12 chiffres après la virgule) en est 1,414213562373.
Par hypothèse, on a : ∃(p, q) ∈ N × N∗/ √ 2 = p q avec p q fraction irréductible. En élevant cette égalité au carré, on obtient 2 = p2 q2 , soit encore : 2q2 = p2. Ainsi, comme q2 est un entier, on en déduit que 2q2 est un entier pair et 1 Page 2 on peut conclure : p2est nécessairement un entier pair.
Un nombre irrationnel est un nombre réel qui n'est pas rationnel, c'est-à-dire qu'il ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction ab, où a et b sont deux entiers relatifs (avec b non nul).
La racine carrée de deux, notée √2 (ou parfois 21/2), est définie comme le seul nombre réel positif qui, lorsqu'il est multiplié par lui-même, donne le nombre 2, autrement dit √2 × √2 = 2. C'est un nombre irrationnel, dont une valeur approchée à 10–9 près est : √2 ≈ 1,414 213 562.
Les nombres irrationnels, représentés par Q′ ,sont les nombres dont le développement décimal est infiniet non périodique. Ces nombres ne peuvent pas s'exprimer comme le quotient de deux entiers.
les 11 premi`eres décimales de √ 2 : √ 2=1,414 213 562 37... et, finalement, √ 2=1,414 213 562 373 095 048 802...
Preuve de l'irrationalité
L'hypothèse √5 = m/n conduit à 5n2 = m2. Ainsi, 5 divise m2, donc divise m d'après le lemme d'Euclide. On peut écrire m = 5r, soit 5n2 = (5r)2 = 25r2, n2 = 5r2, soit 5 divise n.
L'ensemble ℚ a été défini par Peano, il vient de l'italien quotiente (la fraction). Il définit l'ensemble des nombres rationnels (exemples : -3 -2,5 0 1,25 1/3 2,666). Le nombre peut être décimal limité (3/4 = 0,75) ou périodique (2/3 = 0,666...).
Où l'on démontre que racine de 2 ne peut pas être le quotient de deux entiers et que c'est donc un nombre irrationnel.
Propriété Le produit de 2 racines carrées est égal à la racine carrée du produit. Le quotient de 2 racines carrées ets égale a la racine carrée du quotient.
La racine carrée d'un nombre réel positif est l'unique nombre positif qui, lorsqu'il est multiplié avec lui-même, redonne le nombre réel de départ. Par exemple, la racine carrée de 9 est 3 parce que 3 × 3 = 9. On note formellement : √9 = 3.
Un nombre est rationnel si et seulement si son développement en fraction continue est fini. Cette méthode est à l'origine des premières démonstrations de l'irrationalité de la base e du logarithme népérien et de π. (où l'on a des séquences de '2' de plus en plus longues) est irrationnel car il n'y a pas de période.
Un nombre est rationnel s'il peut s'écrire sous la forme d'un quotient de deux entiers. L'ensemble des nombres rationnels se note Q. Inversement, un nombre est irrationnel lorsqu'il n'est pas rationnel, c'est à dire qu'il ne peut s'écrire sous forme de fraction.
Raisonnement par l'absurde, on suppose 1/3 décimal. Donc 1/3 est de la forme a/10^n avec a entier positif. Donc 3a=10^n avec a entier positif. Donc 10^n est un multiple de 3.
Comme 3 est premier, 3 diviserait p d'o`u l'existence de p ∈ N tel que p = 3p . En reportant dans l'égalité (⋆), on aurait 3p 2 = q2 donc 3 diviserait q, ce qui contredit (p, q) premiers ente eux. La contradiction assure que √ 3 est irrationnel.
Au sens ordinaire l'irrationnel est ce qui contraire ou inaccessible à la raison. C'est tout ce que la raison humaine ne peut à un moment donné expliquer (les phénomènes surnaturels, mystiques ou paranormaux). Cela montre bien que la raison a des limites qu'elle doit reconnaître.
Ce sont les nombres qui peuvent s'écrire sous la forme d'une fraction décimale donc les décimaux sont des nombres rationnels.
Le théorème sert, lorsque nous savons que le triangle est rectangle, à calculer une longueur connaissant la longueur des deux autres côtés. Le triangle ABC est rectangle en A d'après le théorème de Pythagore on a : BC² = AB² + AC² 5² = 3² + AC² 25 = 9 + AC² AC² = 25 – 9 = 16 Donc AC = √ cm.
On peut remarquer que √0=0, √1=1, √4=2, √9=3, √16=4, …
Un nombre entier peut toujours s'écrire sous la forme d'une fraction dont le dénominateur est 1. Tous les nombres entiers sont donc des nombres rationnels.
Les nombres naturels 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 [...], les entiers relatifs [...] -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 [...], les nombres rationnels (1/2, -3/4 par exemple) sont aussi des nombres réels.
Nombre rationnel
3,14 ; 5 ; -3,2 et -7 sont des nombres rationnels. Le nombre \pi est un nombre irrationnel, c'est-à-dire non rationnel.