Un module étant une longueur, il sera toujours positif ou nul : |z| ≥ 0. A noter que l'argument est toujours donné à 2π près car, comme on l'a vu dans le cours sur la trigonométrie, un angle est toujours donné module 2π. On dira donc généralement UN argument de z est … et non L'argument de z est… ATTENTION !
Exemples. Le module de 0 est 0. Le module d'un nombre complexe non nul est non nul. Le module d'un réel est sa valeur absolue.
Re : complexe positif
Si x est inférieur ou égal à y et que z est positif (c'est à dire suppérieur ou égal à zéro) alors xz est inférieur ou égal à yz.
Afin de calculer le module ∣z∣ et un argument θ d'un nombre complexe z, on détermine sa forme algébrique z = a+ib.
Le module est la longueur (valeur absolue) dans le plan complexe qualifiant le nombre complexe z=a+ib z = a + i b (avec a la partie réelle et b la partie imaginaire), il est noté |z| et est égal à |z|=√a2+b2 | z | = a 2 + b 2 .
L'exponentielle complexe est une fonction qui prolonge la fonction exponentielle réelle de base e à la variable complexe et possède les mêmes propriétés essentielles que cette dernière. est convergente. Sa somme est l'exponentielle de z, notée ez ou exp(z).
Définition : Soit z = a + b i ( où a et b sont deux nombres réels non nuls tous deux ) un nombre complexe non nul sous la forme algébrique , on appelle argument du nombre complexe z , le nombre réel défini par : où | z | est le module du nombre complexe z .
L'argument d'un nombre complexe ? est la mesure de l'angle entre l'axe des réels positifs d'un plan complexe et le segment reliant l'origine à l'image du nombre complexe, mesurée en radians dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
Le symbole R désigne l'ensemble des nombres réels. Tous les nombres naturels, entiers, décimaux et rationnels sont des nombres réels.
Vocabulaire : - L'écriture a + ib d'un nombre complexe z est appelée la forme algébrique de z. - Le nombre a s'appelle la partie réelle et la nombre b s'appelle la partie imaginaire. On note Re(z) = a et Im(z) = b . Remarques : - Si b = 0 alors z est un nombre réel.
On appelle argument d'un nombre complexe non nul z une mesure θ de l'angle orienté ( u → , OM → ) . C'est un nombre réel défini modulo 2 π et noté arg ( z ) . On a donc : z = ∣ z ∣ . ( cos ( θ ) + i sin ( θ ) ) .
Définition : Soit un nombre complexe z = a + ib. On appelle module de z, le nombre réel positif, noté z , égal à a2 + b2 . M est un point d'affixe z. Alors le module de z est égal à la distance OM.
Un nombre complexe dont la partie imaginaire est nulle est dit réel. Le nombre réel 0 est le seul qui soit à la fois réel et imaginaire pur. Bien sûr la plupart des nombres complexes ne sont ni réels ni imaginaires purs.
Théorème - Définition : On peut toujours écrire un nombre complexe z sous la forme : z = |z|(cos(θ)+i sin(θ)), avec θ = arg(z). On appelle ceci la forme trigonométrique de z. cos(θ) = a |z| , sin(θ) = b |z| . Exemple : Calculer |z| et arg(z) pour z = 1+i.
L'argument de 0 vaut 0 (le nombre 0 a une partie réelle et complexe nulle et donc un argument nul).
Le module d'un quotient est égal au quotient des modules : |zz′|=|z||z′|.
Le complexe associé à un point est appelé l'affixe de ce point. Une affixe est constituée d'une partie réelle et d'une partie imaginaire correspondant respectivement à l'abscisse et l'ordonnée du point.
Une argumentation efficace est une argumentation qui fait des choix langagiers en tenant compte du destinataire. « L'orateur ne peut argumenter efficacement que s'il a une représentation réaliste de l'auditoire et que son discours s'adapte en conséquence à une telle représentation » (Danblon, 2005, p. 14).
Une argumentation est jugée bonne ou mauvaise selon que les prémisses sont acceptables (logiquement ou consensuellement) et qu'elles sont jugées suffisantes pour soutenir la conclusion.
La norme du vecteur est donnée dans un repère orthonormé par la formule suivante : √(x² + y²) ou √(x² + y² + z²). * Pour calculer la norme d'un vecteur du plan, laissez la case z vide. Exemples : Calculons la norme du vecteur du plan de coordonnées (5;12).
Pour mettre sous forme trigonométrique un complexe z=a+ib z = a + i b , on met en facteur le module √a2+b2 a 2 + b 2 , puis on cherche un angle θ tel que ⎧⎨⎩cosθ=a√a2+b2sinθ=b√a2+b2.
Théorème – Définition : Tout nombre complexe non nul z s'écrit sous la forme suivante : z = r (cos (θ) + i sin (θ)) avec r = |z| et θ = arg (z) [2π] Cette forme est appelée forme trigonométrique du complexe z.