En mathématiques, plus particulièrement en analyse fonctionnelle, on appelle espace de Banach un
Théorème : R , C sont des espaces métriques complets. Une partie A de E est complète si l'espace métrique induit (A,d) est complet. Proposition : Si E est un espace métrique complet et A⊂E A ⊂ E , alors A est complet si et seulement si A est fermé.
Intuitivement, un espace est complet s'il « n'a pas de trou », s'il « n'a aucun point manquant ». Par exemple, les nombres rationnels ne forment pas un espace complet, puisque √2 n'y figure pas alors qu'il existe une suite de Cauchy de nombres rationnels ayant cette limite.
∀n ⩾ n1, d(xϕ(n),x) < ε/2. Alors, ∀n ⩾ max (n0,n1), d(xn,x) ⩽ d(xn,xϕ(n)) + d(xϕ(n),x) < ε, ce qui montre que la suite converge. Un espace métrique (X,d) est dit complet si toute suite de Cauchy converge.
Re: Q n'est pas (au blé) complet
Si une suite de rationnels (un) converge vers un irrationnel r , alors c'est une suite de Cauchy. Cependant, elle n'admet pas de limite dans Q . Or, si Q était complet, toute suite de Cauchy à éléments rationnels (donc, en particulier, la suite (un) ) convergerait vers un rationnel.
Définition : Soit une suite réelle; on dit que est une suite de Cauchy ou vérifie le critère de Cauchy si : quel que soit , il existe un entier tel que les inégalités p ≥ N et n ≥ N entraînent | u p − u n | < ϵ .
Diastème : un complexe et un inconvénient pratique
Parfois même, il crée chez certaines personnes un complexe physique qui peut entraîner un mal-être et la peur de sourire.
On écrit un espace : si en ancien français le mot « espace » était indifféremment masculin et féminin, aujourd'hui il est un nom commun masculin dans son acception la plus commune. L'espace au masculin est un nom désignant une distance déterminée, une surface (voir toutes les définitions du mot espace >).
En ancien et moyen français, le mot espace était indifféremment masculin ou féminin. De nos jours, il est masculin : l'espace infini, un espace bien aménagé, un espace exigu, etc.
En mathématiques et plus particulièrement en analyse, une application contractante, ou contraction, est une application qui « rapproche les images » ou, plus précisément, une application k-lipschitzienne avec k < 1. Le théorème de point fixe le plus simple et le plus utilisé concerne les applications contractantes.
Par définition de ·∞, un ensemble X est borné s'il est inclus dans un pavé [−a,a]N, qui est compact. Si de plus X est fermé, c'est un fermé dans un compact, donc il est compact.
La topologie faible et la topologie de la norme coïncident si et seulement si X est de dimension finie. Si X est de dimension infinie, la topologie faible n'est pas métrisable. Si une suite (xn) converge vers x pour la topologie faible, alors la suite des normes (∥xn∥) est bornée et on a ∥x∥≤liminfn∥xn∥.
Définition 1 Une application N : E −→ R est une norme ssi 1. ∀x ∈ E, ∀λ ∈ R, N(λx) = |λ|N(x) (homogénéité) 2. ∀x, y ∈ E, N(x + y) ≤ N(x) + N(y) (inégalité triangulaire) 3. ∀x ∈ E, N(x) ≥ 0 (positivité) 4.
Selon les endroits de l'espace désignés, on le qualifie quelquefois d'espace cislunaire, interplanétaire, interstellaire (ou intersidéral) et intergalactique pour désigner plus précisément le vide spatial qui est délimité respectivement par le système Terre-Lune, les planètes, les étoiles et les galaxies.
Synonyme : écart, écartement, espacement, interstice, intervalle.
SPATIAL, adjectif
Relatif à l'espace.
La ligne de Kármán définit la limite entre l'atmosphère terrestre et l'espace, pour la Fédération aéronautique internationale.
La Fédération aéronautique internationale (FAI), qui catalogue les standards et les données en matière d'astronautique et d'aéronautique, considère également que l'espace débute à 100 km au-dessus du niveau de la mer. Après tout, il s'agit d'un chiffre rond.
La Voie lactée est le nom de notre galaxie. Foyer du Système solaire, elle est de type spiral, s'étend sur environ 100.000 années-lumière et contient 100 à 400 milliards d'étoiles.
'Règle' de cauchy pour les séries quelconques
Si (s,u) est une série, et s'il existe un nombre positif k<1 et un entier N, tels que |un|1/n≤k pour tout entier n>N, alors la série est absolument convergente.
Pour une série à termes réels ou complexes, exprimer que la suite des sommes partielles satisfait à la condition de Cauchy constitue une condition nécessaire et suffisante de convergence.
Toute suite de Cauchy est bornée. Une suite de Cauchy a au plus une valeur d'adhérence et si elle en a une, alors elle converge. Toute sous-suite d'une suite de Cauchy est, elle-même, une suite de Cauchy. Toute suite de Cauchy admettant une sous-suite convergente est convergente.
Le terme « topologie », fut introduit en allemand en 1847 par Johann Benedict Listing dans Vorstudien zur Topologie.