La fonction valeur absolue n'est donc pas dérivable en 0. En observant la courbe représentative de la fonction valeur absolue, on comprend bien qu'il n'existe pas de tangente à la courbe en 0.
la limite en 0 de n'existe pas. On ne peut alors parler ni de nombre dérivé, ni de tangente en . Les limites à droite et à gauche en 0 du rapport n'étant pas égales, on ne peut parler de limite en 0. La fonction valeur absolue n'est donc pas dérivable en 0.
Dérivée : la fonction valeur absolue est dérivable partout sauf pour x=0. x = 0. Soit la fonction f telle que f(x)=|x|, f ( x ) = | x | , alors pour tout x∈]−∞;0[, x ∈ ] − ∞ ; 0 [ , sa dérivée s'écrit f′(x)=−1 f ′ ( x ) = − 1 et pour tout x∈]0;+∞[ x ∈ ] 0 ; + ∞ [ nous avons f′(x)=1.
Il existe quatre lois encadrant le concept de valeur absolue : | 0 | = 0. Si x ≠ 0, | x | > 0.
Proposition 3.1.3. Soit f : [a, b] → R une fonction. (1) Soit x0 ∈]a, b[. Alors f est dérivable en x0 si et seulement si f est dérivable `a droite et `a gauche en x0 et fg(x0) = fd(x0).
En mathématiques, une fonction continue nulle part dérivable est une fonction numérique qui est régulière du point de vue topologique (c'est-à-dire continue) mais ne l'est pas du tout du point de vue du calcul différentiel (c'est-à-dire qu'elle n'est dérivable en aucun point).
Lorsqu'une fonction n'est pas définie pour une valeur, le nombre dérivé n'existe pas et l'affaire est pliée : il est évident que la fonction inverse n'est pas dérivable en 0 puisqu'elle n'y est pas définie. Là où ça se complique, c'est lorsque la fonction est définie en un point mais qu'elle n'y est pas dérivable.
il y a un seul zéro (h,0) et la fonction est négative pour tous les x . la fonction est négative pour l'intervalle des x compris entre les deux zéros et elle est positive pour le reste des x . la fonction est positive pour l'intervalle des x compris entre les deux zéros et elle est négative pour le reste des x .
Pour enlever une valeur absolue, il faut toujours faire deux cas : si x est positif alors |x| = x, et si x est négatif alors |x| = - x ( |-9| = - (-9) = 9).
On arrête la résolution ici puisqu'une valeur absolue ne peut pas être égale à un nombre négatif.
La limite, lorsque h tend vers 0, serait donc 0. Ce nombre étant un réel, la fonction serait donc normalement dérivable en 0.
Dérivabilité selon Schwarz
Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I, et a un point de I, on dit que f est dérivable selon Schwarz en a s'il existe un réel fs(a) tel que. Ce réel est appelé la dérivée symétrique de f en a.
On dit que f est deux fois dérivable si f est dérivable. On définit par récurrence la k-dérivabilité d'une fonction f. La dérivée k-i`eme se note f(k) et on a f(k) = (f(k−1)) . On dit que f est indéfiniment dérivable si f est k-dérivable pour tout k.
On appelle valeur absolue d'un nombre réel x la distance entre x et 0. On la note ∣x∣.
Si b est négatif alors l'équation | x - a | = b n'a aucune solution puisqu'une valeur absolue est toujours positive !
Il est fréquent de ne pas écrire le signe + ; on obtient alors : la valeur absolue de 7 est 7 ; la valeur absolue de –5 est 5, c'est-à-dire l'opposé de –5.
Propriété 2 : Dire que |x| = 0 équivaut à dire que x = 0. En clair, le seul et unique réel dont la valeur absolue est 0, c'est 0. La démonstration est évidente car si on a un réel x dont la valeur absolue vaut 0, alors cela signifie que la distance de celui-ci par rapport à 0 est égale à 0...
Pour trouver les zéros d'une fonction polynomiale de degré 2 sous la forme canonique f(x)=a(x−h)2+k, il faut remplacer f(x) par 0 puis trouver la ou les valeurs de x qui rendent l'équation vraie.
Si la dérivée est d'abord positive , s' annule puis devient négative la fonction passe par un « maximum ». Si la dérivée est d'abord négative , s' annule puis devient positive la fonction passe par un « minimum ». Point d'inflexion : L'annulation de la dérivée sans changement de signe correspond à un point d'inflexion.
On dit qu'une fonction f est dérivable sur un intervalle I lorsque f est dérivable en tout point de I. On note f la fonction dérivée de f qui à tout x ∈I associe f (x). Si g ne s'annule pas sur I, f g est aussi dérivable sur I et ( f g ) = f g − fg g2 .
Si une fonction est continue sur un intervalle, sa représentation graphique est en un seul morceau. Si la fonction est dérivable, sa représentation graphique admet une tangente en chacun de ses points.