L'algorithme d'Euclide, consiste à effectuer une suite de divisions euclidiennes : - On effectue la division euclidienne de a par b et on note r le reste. - Ensuite, b devient a et rdevient b comme sur le tableau ci-dessous; et on recommence: on effectue ladivision euclidienne de a par b et on note r le reste.
Par exemple, le PGCD de 252 et 105 est aussi égal au PGCD de 105 et 252 − 2 × 105 = 42. Ainsi, l'algorithme d'Euclide opère ainsi : on remplace le plus grand des deux nombres par le reste de la division euclidienne du plus grand nombre par le plus petit.
Dans ses Éléments, Euclide démontre que de trois nombres premiers distincts peut se déduire un quatrième. La démonstration se généralise immédiatement à toute énumération finie de nombres premiers. Il déduit que les nombres premiers sont en nombre plus important que toute quantité finie.
On effectue la division euclidienne du plus grand par le plus petit et on recommence avec le diviseur et le reste, jusqu'à ce que le reste soit nul. Le PGCD est alors le dernier reste non nul.
2 Remontée de l'algorithme d'Euclide
En effectuant les divisions euclidiennes successives de an par an+1, on construit ainsi deux suites (an)n et (bn)n d'entiers : La suite (an) est celle des restes successifs des divisions euclidiennes : an+2 est le reste de la division euclidienne de an par an+1.
Le calcul du PGCD de deux entiers positifs a et b utilise l'algorithme d'Euclide, remarquablement général (il fonctionne aussi pour les polynômes) et efficace. Soit r le reste de la division euclidienne de a par b : a = bq + r , r < b.
Dans une division euclidienne, a, b, q et r sont des nombres entiers et on a : a = b × q + r avec r < b.
Pour déterminer le diviseur entre le dividende et le quotient, il suffit de faire la division entre ce même dividende et ce même quotient.
Afin de déterminer le diviseur et le reste d'une division euclidienne, on détermine un encadrement du diviseur afin d'en déduire sa valeur puis on calcule r. On divise 237 par un entier naturel non nul b. Le quotient est 13 et le reste est r. Déterminer toutes les valeurs possibles de b et r.
Postulat 1 : De tout point `a tout autre point on peut tracer une ligne droite. Postulat 2 : Toute droite finie peut être prolongée indéfiniment et continûment. Postulat 3 : Avec tout point comme centre et tout rayon, on peut tracer une circonférence. Postulat 4 : Tous les angles droits sont égaux entre eux.
L'hypothèse de Riemann
Ce problème est considéré par de nombreux mathématiciens comme l'un des plus difficiles de tous les temps. Et en effet, l'hypothèse de Riemann n'a jamais été résolue !
Plus grand diviseur commun
Un diviseur commun à deux ou plusieurs nombres entiers est un nombre entier qui divise chacun d'eux. Exemple : 36 = 12 × 3 et 24 = 12 × 2. Donc 12 est un diviseur commun à 36 et à 24.
Soient a et b deux entiers relatifs non nuls. On dit que a et b sont premiers entre eux lorsque leurs seuls diviseurs communs sont 1 et −1.
Ceux de 18 sont 1, 2, 3, 6, 9 et 18. Les diviseurs communs de 30 et 18 étant 1, 2, 3 et 6, leur PGCD est 6. Ce qui se note : PGCD(30, 18) = 6. Les diviseurs communs à plusieurs entiers sont les diviseurs de leur PGCD.
Le résultat d'une division s'appelle le quotient. La division euclidienne donne un quotient entier et un reste • Le reste doit être inférieur au diviseur. La division décimale donne deux types de quotient.
La formule de calcul est donc la suivante : Quotient familial = Revenu net imposable / nombre de parts fiscales. Le résultat ainsi obtenu est ensuite soumis au barème progressif de l'impôt sur le revenu et multiplié par le nombre de parts de votre foyer fiscal pour obtenir le montant de l'impôt sur le revenu dû.
Pour trouver le terme manquant d'une division, par exemple 20÷?= 2, tu dois te poser la question suivante : Quel nombre je peux multiplier par 2 et qui donnera 20? En d'autres mots, 2 fois quoi égal 20?
La division euclidienne est un outil de base de l'arithmétique. Elle permet de déterminer le PGCD de deux nombres en utilisant l'algorithme d'Euclide. Elle est également utilisée pour écrire un entier en base b.
Définition "Euclide"
n. prop. Mathématicien grec. Il a définit la géométrie (euclidienne).
7 parties 3 parties le quotient de 29 par 7 est environ égal à 4,14 qui est une valeur approchée.
Préoccupez-vous d'abord du fond puis de la forme du problème. Concentrez-vous uniquement sur le problème donné et ne pas vous préoccupez de ce que vous ne maîtrisez pas encore très bien. Rédigez directement votre algorithme dans votre langage de programmation comme vous le penser et au feeling.
Essayez d'abord de comprendre son origine. Utilisez des questions pour générer des idées visant à résoudre le problème. Examinez les problèmes précédents pour trouver les réponses aux nouveaux problèmes. Oubliez vos idées préconçues et expériences passées avant d'essayer de résoudre le problème.