Les diviseurs de 175 sont : 1, 5, 7, 25, 35, 175.
1. Pour trouver le nombre de diviseurs de tout nombre, on décompose le nombre donné en facteurs premiers ; puis on fait le produit du nombre de diviseurs de chaque facteur. Par exemple, 180 a 18 diviseurs.
175 = 11 + 72 + 53 (135, 518 et 598 ont aussi cette propriété). 175 est divisible par le produit de ses chiffres, 35, ce qui en fait un « nombre de Zuckerman ».
Donc le PGCD de 125 et 175 est 5×5 = 25, donc les diviseurs communs de 125 et 175 sont ceux de 25, c'est-à-dire : 1, 5 et 25.
Le nombre de diviseurs d'un nombre est égal au produit des puissances de chacun de ses facteurs premiers, chacune augmentée de 1. Donc 3 528 possède 36 diviseurs. On comprend mieux "qu'à la main", même avec une calculatrice, trouver l'ensemble des diviseurs d'un nombre peut être long.
1. Les diviseurs de 90 sont : 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90. Les diviseurs de 126 sont : 1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 63, 126.
Les diviseurs de 72 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 et 72. Les diviseurs de 54 sont : 1, 2, 3, 6, 9, 18 et 27.
Cette méthode consiste à diviser simultanément les nombres étudiés par des diviseurs premiers. Le PGCD sera alors le produit de ces diviseurs premiers. Cette méthode est plus rapide et efficace lorsque l'on cherche le PGCD entre deux grands nombres.
La liste de ses diviseurs entiers (c'est-à-dire la liste des nombres entiers qui divisent 125) est la suivante : 1, 5, 25, 125. Pour que 125 soit un nombre premier, il aurait fallu que 125 ne soit divisible que par lui-même et par 1.
4/ Nombres premiers : définition
Diviseurs qui sont 1 et lui-même. ( puisque 1 divise tout nombre et tout nombre est diviseur de lui-même. )
350 : en effet, 350 = 175 × 2. 525 : en effet, 525 = 175 × 3. 700 : en effet, 700 = 175 × 4. 875 : en effet, 875 = 175 × 5.
175 est divisible par 5 car son chiffre des unités est 5. Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9 (9 ; 18 ; 27 ; etc.).
75 = 25 + 25 + 25.
La liste de ses diviseurs entiers (c'est-à-dire la liste des nombres entiers qui divisent 75) est la suivante : 1, 3, 5, 15, 25, 75.
Exemple Les diviseurs de 48 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 16 ; 24 ; 48 .
120 est divisible par 2 donc 120= 2\times 60. 60 est divisible par 2 donc 60= 2\times 30. 30 est divisible par 2 donc 30 = 2\times 15. 15 est divisible par 3 donc 15= 3\times 5.
La liste de ses diviseurs entiers (c'est-à-dire la liste des nombres entiers qui divisent 196) est la suivante : 1, 2, 4, 7, 14, 28, 49, 98, 196. Pour que 196 soit un nombre premier, il aurait fallu que 196 ne soit divisible que par lui-même et par 1.
Les diviseurs de 78 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 13 ; 26; 39 ; 78. Ceux de 208 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 13 ; 26; 52 ; 104 ; 208. 1 ; 2 ; 13 et 26 sont les diviseurs communs de 78 et 208. Le plus grand de ces diviseurs communs est 26 : 26 est le plus grand commun diviseur de 78 et de 208.
Rappel sur le PGCD
On a vu en classe de 3ème que le PGCD de deux nombres a et b est le plus grand nombre qui divise à la fois a et b. Par exemple, le PGCD de 15 et 10 est 5. Pour déterminer le PGCD de deux nombres, on peut faire une liste des diviseurs de a puis de b et déterminer le plus grand diviseur commun.
Les diviseurs communs à 162 et 108 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18 ; 27 et 54. Ils ont donc trois diviseurs communs plus grands que 10 : 18; 27 et 54.
Le nombre 360 a pour décomposition en produit de facteurs premiers 2×2×2×3×3×5 ainsi, il possède 24 diviseurs et, comme il est le plus petit entier à en avoir autant c'est un nombre hautement composé.
Les diviseurs de 18 sont : 1, 2, 3, 6, 9, 18. Les diviseurs de 27 sont : 1, 3, 9, 27.