Une suite est convergente si elle tend vers un nombre fini ; une suite est divergente si elle tend vers l'infini ou si elle n'a pas de limite.
1° la limite finie d'une suite lorsqu'elle existe est unique. 2° une suite qui converge est bornée. Et conséquence de 2°, en utilisant sa contraposée : 3° si une suite n'est pas bornée alors elle diverge.
En mathématiques, une série infinie est dite divergente si la suite de ses sommes partielles n'est pas convergente. En ce qui concerne les séries de nombres réels, ou de nombres complexes, une condition nécessaire de convergence est que le terme général de la série tende vers 0.
Pour démontrer qu'une suite (un) est divergente, on peut trouver deux suites extraites de (un) qui convergent vers des valeurs différentes; on peut la minorer par une suite tendant vers +∞ .
Si la lentille est convergente, l'image est grossie (grossissement>1), et lorsqu'on déplace la lentille dans un sens, l'image défile dans l'autre sens. Si la lentille est divergente, l'image est rétrécie (grossissement<1), et défile dans le même sens que le déplacement de la lentille.
Pour démontrer qu'une suite de fonctions (fn) converge uniformément vers f sur I, on peut : étudier les variations de la fonction fn−f f n − f sur I (en la dérivant par exemple) afin de déterminer supx∈I|fn(x)−f(x)| sup x ∈ I | f n ( x ) − f ( x ) | et de démontrer que cette quantité tend vers 0 (voir cet exercice);
Si les suites (un) et (wn) convergent vers une même limite finie l, alors la suite (vn) est convergente et converge vers cette même limite l. un = l. Si (un) est une suite bornée et si (vn) est une suite convergente vers 0, alors la suite (unvn) converge vers 0. et la suite (k|vn|) converge vers 0 par hypothèse.
Lorsqu'une fonction diverge (vers ) en un point, elle n'a pas de limite en ce point. Diverger vers ne signifie pas se rapprocher d'un nombre appelé ( n'est pas un nombre réel). On utilise pourtant la même notation pour parler de limite et de divergence : cela est extrêmement malheureux et absolument pas pédagogique.
On veut pouvoir dire que la suite de fonctions (fn) converge vers f lorsque la courbe représentative de la fonction fn se rapproche, quand n tend vers l'infini, de celle de f.
Une suite est dite convergente si ses termes ont une limite finie quand n tend vers +∞. Créé par Sal Khan.
Ainsi, en un point, si la divergence est nulle, alors la densité ne varie pas ; si elle est positive en ce point, alors il y a diffusion.
Par exemple, la suite un = (−1)n diverge : la suite des termes pairs converge vers 1, la suite des termes impairs converge vers −1. Remarquons aussi que la modification d'un nombre fini de termes n'a aucune incidence sur la convergence d'une suite.
Si pour tout x, f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) et si les fonctions f et h ont la même limite L en k, alors la limite de la fonction g en k est aussi L. C'est ce théorème que l'on utilise pour établir que la limite de sin(x)/x quand x tend vers 0 est égale à 1.
Pour montrer qu'une suite est arithmétique, il faut démontrer que u n + 1 − u n est une constante, pour tout . Pour calculer la raison d'une suite arithmétique, nous pouvons utiliser la définition par récurrence d'une suite arithmétique, u n + 1 = u n + r .
Définition 1.1.2
Soit (un) une suite. On dit que : a) la suite (un) est croissante si pour tout n ∈ : un ⩽ un+1 ; b) la suite (un) est décroissante si pour tout n ∈ : un ⩾ un+1 ; c) la suite (un) est monotone si elle est croissante ou décroissante ; d) la suite (un) est constante si pour tout n ∈ : un+1 = un.
Si une suite est strictement croissante alors elle tend vers +∞ Faux : 1 − 1 n , ou −e−n. 4. Si une suite tend vers +∞ alors elle n'est pas majorée Vrai.
En effet, si |xn| ≤ K pour tout n > N alors |xn| ≤ M pour tout n, en posant M = max(|x0|, |x1|, … , |xN|, K). Toute suite convergente est par conséquent bornée (par exemple la suite un = (–1)n/(n + 1), qui converge vers 0, reste comprise entre u1 = –1/2 et u0 = 1).
On dit qu'une suite tend vers –∞ si tout intervalle de la forme ]–∞, A[ contient tous les termes de la suite sauf un nombre fini d'entre eux.
A bord, Tris parvient à hauteur de Quatre qui semble sous contrôle comme tous les autres mais il finit par lui prendre la main : Quatre est Divergent, au grand soulagement de Tris.
À la fin de ce premier film, Tris va finalement quitter la ville accompagnée de son copain Quatre (c'est bien son nom), de son frère Caleb et de Peter et Marcus. Ils sont recueillis par les Fraternels qui les cachent et les protègent du Gouvernement qui souhaite les détruire.
Tobias Eaton, dit "Quatre", est un des personnages principaux de la saga Divergent. Il est surnommé Quatre, du fait qu'il n'ait que 4 peurs.
Si r = 0, la suite (un) est constante égale à u0 et converge donc vers u0.
Proposition 1.5. Soit (un) une suite de nombres ≥ 0. La suite converge géométriquement si et seulement si on a lim n √ un < 1. décroissante, donc convergente, et qu'on a lim n √ un = limsn par définition.
On dit que (fn) converge simplement vers f sur I si : ∀ε>0, ∀x∈I, ∃n0∈N tel que ∀n≥n0, |fn(x)−f(x)|≤ε.