Théorème : Soit I un intervalle de R et f:I→R f : I → R dérivable. Alors : f est croissante sur I si et seulement si, pour tout x∈I x ∈ I , f′(x)≥0 f ′ ( x ) ≥ 0 ; f est strictement croissante sur I si et seulement si f′≥0 f ′ ≥ 0 et si f′ n'est identiquement nulle sur aucun intervalle [a,b]⊂I [ a , b ] ⊂ I avec a<b .
On dit qu'une fonction f est strictement croissante ssi pour x et y dans le DD de f , si on a x < y, on a aussi f (x) < f (y). En langage plus formel, ça donne ∀x,y ∈ DD(f ),x < y ⇒ f (x) < f (y). La fonction cube x 7→ x3 est strictement croissante, bien que sa dérivée s'annule (en zéro).
On dit qu'une fonction est strictement croissante si chaque valeur de y est supérieure à la précédente . Mathématiquement, une fonction est strictement croissante sur un intervalle si x2 > x1 donne f(x2) > f(x1).
Une suite (un) est croissante (resp strictement croissante) si et seulement si pour tout n ∈ N, un+1 ≥ un (resp un+1 > un). Une suite (un) est décroissante (resp strictement décroissante) si et seulement si pour tout n ∈ N, un+1 ≤ un (resp un+1 < un).
➕/➖ La dérivée d'une fonction représente son taux de variation instantanée, et son signe nous renseigne sur la croissance ou la décroissance de la fonction. Si la dérivée est positive sur un intervalle, alors la fonction est croissante sur cet intervalle.
Définitions : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. - Dire que f est croissante sur I (respectivement strictement croissante sur I) signifie que pour tous réels a et b de I : si a < b alors f (a) ≤ f (b) (respectivement si a < b alors f (a) < f (b)).
Si f′(x) > 0 pour tout x dans l'intervalle, alors la fonction f est strictement croissante . Si f′(x) < 0 pour tout x dans l'intervalle, alors la fonction f est strictement décroissante. Si f′(x) = 0 pour tout x dans l'intervalle, alors la fonction f est constante.
La différence entre strictement croissante et croissante réside dans le fait que la première implique que la valeur des données augmente sans interruption, tandis que la seconde implique que la valeur des données peut rester constante à certains moments.
Définition rigoureuse d'une fonction croissante
Une fonction f est croissante sur un intervalle I lorsqu'elle conserve l'ordre des nombres sur cet intervalle. Autrement dit, quelque soient les réels et appartenant à I, si alors f ( a ) ≤ f ( b ) .
Quand on peut dessiner un « p » avec une barre imaginaire et le croissant lumineux, la Lune est croissante (p comme premier quartier). Si c'est un « d » la Lune est décroissante (d comme dernier quartier).
Il existe c∈I tel que f′(c)=b−af(b)−f(a). Puisque f′ est positive alors f′(c)=b−af(b)−f(a)>0, donc f(b)−f(a)>0 et ainsi f(a)<f(b) : la fonction f est bien strictement croissante.
Une fonction est strictement croissante sur un intervalle I si pour tous a, b dans I, si a < b, alors f(a) < f(b). C'est tout. Pas besoin de parler de dérivée. f(x) = x3 pour tout x réel satisfait ce critère.
Une fonction affine est croissante si et seulement si son taux de variation est positif. Une fonction affine est décroissante si et seulement si son taux de variation est négatif. Une fonction affine est constante si et seulement si son taux de variation est nul.
Si ƒ est continue et strictement monotone sur un intervalle [a ; b], alors pour tout nombre k compris entre ƒ(a) et ƒ(b), alors l'équation ƒ(x) = k admet une unique solution dans [a ; b]. Pour localiser cette solution, on pourra utiliser sa calculatrice.
Un extremum d'une fonction est un maximum ou minimum de la fonction. Un maximum d'une fonction se trouve où la dérivée est nulle et la dérivée seconde est strictement négative. Un minimum d'une fonction se trouve où la dérivée est nulle et la dérivée seconde est strictement positive.
Théorème : Soit I un intervalle de R et f:I→R f : I → R dérivable. Alors : f est croissante sur I si et seulement si, pour tout x∈I x ∈ I , f′(x)≥0 f ′ ( x ) ≥ 0 ; f est strictement croissante sur I si et seulement si f′≥0 f ′ ≥ 0 et si f′ n'est identiquement nulle sur aucun intervalle [a,b]⊂I [ a , b ] ⊂ I avec a<b .
Si une fonction f est dérivable, la signe de sa dérivée indique le sens de variation : Si f'(x) > 0, alors la fonction est strictement croissante sur l'intervalle considéré. Si f'(x) < 0, elle est strictement décroissante.
Les dérivées peuvent être utilisées pour déterminer si une fonction est croissante, décroissante ou constante sur un intervalle : f(x) est croissante si la dérivée f/(x) > 0, f(x) est décroissante si la dérivée f/(x) < 0, f(x) est constante si la dérivée f/(x) = 0 .
Il s'agit simplement d'une condition suffisante pour qu'une fonction soit croissante sur un intervalle. Une fonction est strictement croissante sur un intervalle I si, pour tous a, b dans I, si a < b, alors f(a) < f(b) .
Si f(X) est supérieur ou égal à f(x), la fonction est dite croissante . Si f(X) est toujours supérieur à f(x), la fonction est dite strictement croissante .
Une suite {an} est strictement croissante si chaque terme est supérieur au terme précédent . Autrement dit, an+1 > an. Elle est non décroissante si an+1 ≥ an. Une suite est strictement décroissante si an+1 < an pour tout n, et une suite est non croissante si an+1 ≤ an.
Fonction strictement décroissante - Une fonction f(x) est dite strictement décroissante sur un intervalle I si pour deux nombres quelconques x et y dans I tels que x < y, nous avons f(x) > f(y) .
S'il s'agit d'un intervalle fermé, alors f(x) atteint son minimum en a et son maximum en b. Si f est strictement croissante sur [a, b], alors oui . S'il s'agit d'un intervalle ouvert, alors il n'y a ni maximum ni minimum dans (a, b). Il existe une borne supérieure et une borne inférieure.