Donc, si le vecteur →u est colinéaire au vecteur →v , alors il existe un scalaire k tel que →u=k→v u → = k v → . Si on veut utiliser cette caractéristique pour savoir si deux vecteurs sont colinéaires, il faut être en mesure de trouver la valeur de ce scalaire k. k .
On détermine si cette égalité est vérifiée. Deux vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix} sont colinéaires si et seulement si xy'-x'y =0.
Les points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs ⃗ AB et ⃗ AC sont colinéaires. Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs ⃗ AB et ⃗ CD sont colinéaires.
Les vecteurs ⃑ 𝐴 et ⃑ 𝐵 sont parallèles si, et seulement si, ce sont des multiples scalaires l'un de l'autre : ⃑ 𝐴 = 𝑘 ⃑ 𝐵 , où 𝑘 est un nombre réel non nul.
On rappelle que deux droites sont perpendiculaires si elles sont sécantes et que leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux. Les vecteurs directeurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est égal à zéro. Le produit scalaire donne ( 2 , 1 , − 2 ) ⋅ ( 5 , 4 , 7 ) = 2 × 5 + 1 × 4 + ( − 2 ) × 7 = 0 .
Si leur produit scalaire est nul, les droites \left(d\right) et \left(d'\right) sont parallèles. Le produit scalaire \overrightarrow{n}. \overrightarrow{u} étant nul, les droites \left(d\right) et \left(d'\right) sont parallèles.
On rappelle que trois points A, B et C définissent un plan si et seulement s'ils ne sont pas alignés. Les trois points A, B et C définissent un plan si et seulement s'ils ne sont pas alignés.
Soient u et v , deux vecteurs de coordonnées respectives (xy) et (x′y′). Le déterminant de u et v est le réel det(u ;v )=xy′−yx′. Propriété : Deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, leur déterminant est nul.
Définition 1.
Deux droites ont la même direction si et seulement si elles sont parallèles ou confondues. On dit que deux vecteurs et sont colinéaires lorsqu'ils ont la même direction. Par conséquent, deux droites qui n'ont pas la même direction sont sécantes.
Solution détaillée. Les trois points A 1 , A 2 , A 3 sont alignés si et seulement si les vecteurs A 1 A 2 → et A 1 A 3 → sont colinéaires, donc si et seulement si le déterminant des vecteurs A 1 A 2 → , A 1 A 3 → , est nul.
Une équation cartésienne de droite est de la forme ax+by+c=0. On peut déterminer une équation cartésienne de la droite \left(d\right) lorsque l'on connaît un point de la droite et un vecteur directeur de la droite.
Le déterminant est l'une des techniques qui permet de savoir si deux vecteurs sont colinéaires. S'ils se sont, le déterminant est nul. Et réciproquement, si le déterminant est nul les vecteurs sont colinéaires.
Le produit mixte de trois vecteurs u, v, w est le nombre [u, v, w]=(u ∧ v) · w. Soit B = (i,j, k) une base orthonormée de l'espace et u, v, w trois vecteurs se décomposant selon u = x1i + y1j + z1k, v = x2i + y2j + z2k, w = x3i + y3j + z3k.
La norme d'un vecteur est sa longueur. Nous pouvons calculer la norme de tout vecteur en deux dimensions en utilisant le théorème de Pythagore. La norme du vecteur 𝐯 est égale à la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré, où 𝑎 et 𝑏 sont les deux composantes du vecteur.
Définition : Norme d'un vecteur
La norme du vecteur ⃑ 𝑣 , notée ‖ ‖ ⃑ 𝑣 ‖ ‖ , est la longueur du vecteur ou la distance entre ses extrémités. En particulier, un vecteur unitaire est un vecteur de norme égale à 1.
Vecteurs colinéaires
= k . Deux vecteurs sont colinéaire s'ils ont la même direction, le même sens, et s'ils sont proportionnels.
Dans un repère orthonormé, le produit scalaire de deux vecteurs est égal à la somme des produits de leurs composantes correspondantes. →u⊙→v=uxvx+uyvy. →u⊙→v=uxvx+uyvy+uzvz.
(d) est sécante à (P) si et seulement si l'intersection de (d) et de (P) est un point. Pour montrer (d) est sécante à (P), il suffit de montrer que (d) n'est pas parallèle à (P). Autrement dit que vecteur directeur de (d) n'est pas orthogonal à vecteur normal de (P). Cas particulier : (d) est orthogonale à (P).
Le repérage dans le plan cartésien
La position d'un point est donnée par un couple de nombres, les coordonnées (x,y) . Le premier nombre du couple correspond à la position horizontale du point (sa valeur sur l'axe des x ) alors que le deuxième nombre correspond à sa position verticale (sa valeur sur l'axe des y ).
Pour savoir si la droite (MN) est incluse dans le plan (ABC): On regarde si le point M appartient au plan (ABC) en appliquant la méthode "A appartient à un plan". Puis on refait pareil avec le point N. Si les 2 points M et N appartiennent au plan (ABC), alors la droite (MN) est incluse dans le plan (ABC).
Propriété : Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles.
Définition. Deux vecteurs sont dits orthogonaux si leurs directions sont perpendiculaires. Exemple : Sur le schéma ci-dessous, AB est un représentant du vecteur u et AC est un représentant du vecteur v . Comme les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires, les vecteurs u et v sont orthogonaux.
Si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre. Donc (BC) et ( DC|CD) sont perpendiculaires. D'après l'énoncé, la droite (BC) est perpendiculaire à la droite (AB) et la droite (DC) est parallèle à la droite (AB). Les droites (BC) et (DC) sont donc perpendiculaires.
Les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires à la droite (BC). Prouver que les droites (AB) et (CD) sont parallèles. On sait que : (AB) ⊥ (BC) et (CD) ⊥ (BC). Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite alors elles sont parallèles.