Elle tend vers l'infini lorsque x tend vers l'infini et tend vers 0 lorsque x tend vers -∞. La fonction logarithme est défini uniquement sur l'intervalle ]0,+∞[. Elle tend vers -∞ lorsque x tend vers 0 et vers l'infini lorsque x tend vers l'infini.
Son inverse (à savoir |q|n tend donc vers 0 de même que qn. Dans ce cas les valeurs prises par la suite géométrique sont alternativement "1" lorsque "n" est pair et "-1" lorsque "n" est impair, la suite diverge sans avoir de limite infinie. ce qui signifie que qn n'est pas bornée, c'est donc une suite divergente.
Ceci s'effectue en 2 étapes : 1) On calcule de taux d'accroissement t(h) entre -2 et -2+h pour h non nul. 2) On fait tendre le réel h vers 0.
On peut dire que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 existe si les limites à gauche et à droite existent et que la limite à gauche est égale à la limite à droite. On peut aussi dire que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 est égale à une constante 𝐿 où 𝐿 est aussi égale aux limites à gauche et droite.
Si P(a) = 0, un calcul simple de limite conduit à une indétermination de la forme 0/0. Une propriété concernant les polynômes va permettre de lever cette indétermination : pour tout polynôme P tel que P(a) = 0, il existe un polynôme P1 de degré strictement inférieur tel que P(x) = (x – a)P1(x).
L'invention du zéro a également créé une nouvelle manière plus précise de décrire les fractions. Ajouter des zéros à la fin d'un nombre augmente sa grandeur ; ajouter des zéros au début de ce nombre, après la virgule, la diminue. Placer infiniment des nombres à droite de la virgule correspond à une précision infinie.
Le zéro est alors appelé sunya ce qui signifie le vide. Au XIIe siècle, le mathématicien indien Bhaskara parvient à établir que 1/0 = l'infini. Il démontre ainsi, la relation qui existe entre le vide et l'infini. Au IXe siècle, les Arabes emprunteront aux Indiens le zéro, le mot sunya devenant sifr.
Si les valeurs de 𝑓 ( 𝑥 ) tendent vers une valeur finie 𝐿 lorsque les valeurs de 𝑥 tendent vers l'infini, alors on dit que la limite de 𝑓 ( 𝑥 ) à l'infini existe et est égale à 𝐿 et nous notons cela par l i m → ∞ 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝐿 .
Le plus simple serait de le définir comme tout ce qui n'est pas fini. Par exemple, les diviseurs de 12 sont en nombre fini (1, 2, 3, 4, 6 et 12), par contre ses multiples sont en nombre infini (12, 24, 36, …).
Limite finie
Les termes de la suite s'accumulent autour d'une certaine valeur l de cet intervalle. Ce phénomène traduit la notion de limite finie. Limite finie : Dire qu'un réel l est limite d'une suite (un) signifie que tout intervalle ouvert de centre l contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
Règle : Pour une valeur approchée à 0,1 près (au dixième), on étudie le chiffre des centièmes : de 0 à 4 par défaut : on le supprime; de 5 à 9 : on le supprime en augmentant le chiffre des dixièmes de 1 unité. La valeur approchée à l'unité par défaut de 3,574 est 3.
On dit que 1 est un élément neutre pour la multiplication ; la multiplication par 0 qui donne toujours 0 : 0 × a = a × 0 = 0. on dit que 0 est un élément absorbant pour la multiplication.
Quand on multiplie par 0,1, on déplace la virgule d'un rang vers la gauche. Cela équivaut à diviser par 10. Quand on multiplie par 0,01, on déplace la virgule de deux rangs vers la gauche. Cela équivaut à diviser par 100.
Lorsque l'on met x à la puissance 0, on effectue donc un produit vide. Or, une somme vide, sans aucun terme, est égale à l'élément neutre pour l'addition, c'est-à-dire 0. Ainsi, un produit de 0 terme, vide, est égal à l'élément neutre pour la multiplication, c'est-à-dire 1.22 août 2006 - Google.com.
En effet, un nombre auquel on ajoute 0 reste inchangé. En termes plus mathématiques, pour tout nombre réel x, 0+x=x+0=x. Du côté de la multiplication, tout nombre multiplié par 1 reste inchangé, i.e, pour tout nombre réel x, 1. x=x.
Selon cette définition, 0 et 1 ne sont pas des nombres premiers puisque 0 est divisible par tous les entiers positifs et 1 n'est divisible que par un seul entier positif. Certains mathématiciens admettaient 1 comme un nombre premier mais cette théorie a été abandonnée au début du XXème siècle.
Il faut savoir que des mathématiciens sont allés encore plus loin. Ils ont nommé un nombre encore plus grand : le "Googolplex", c'est un 1 suivi d'un googol de zéros, un nombre si immense qu'il y a davantage de zéros dans l'écriture de ce nombre que d'atomes dans l'univers.
Ça peut paraître fou, mais il n'existe pas de dernier nombre! On peut compter jusqu'à l'infini, il y a toujours un nombre qui vient après!
Pour la civilisation indienne, le signe infini fait référence aux 8 bras du dieu Shiva. Il désigne aussi les 8 règlements de conduite et les 8 vœux prononcés par les moines bouddhistes. En Chine, ce symbole représente les 8 pétales des fleurs de lotus ainsi que les 8 piliers du Ming-Tang et les 8 sentiers du Tao.
D'une certaine manière, mathématiquement, l'infini, c'est ça : pouvoir toujours ajouter 1 à n'importe quel nombre, aussi grand soit-il, et construire ainsi des nombres de plus en plus grands. On en vient donc à la conclusion qu'il n'y a pas de nombre plus grand que tous les autres.
Par exemple, la fonction f : x ↦ |x|/ x n'est pas définie en 0 ; lorsque x tend vers 0 par valeurs inférieures, f(x) tend vers -1 et lorsque x tend vers 0 par valeurs supérieures, f(x) tend vers 1. La limite à gauche de f en 0 est -1 et sa limite à droite en 0 est 1.
Le symbole « +∞ » se lit « plus l'infini » et le symbole « −∞ » se lit « moins l'infini ».
Le zéro, tout comme les autres chiffres, n'ont pas été inventés ou découverts par les Arabes, mais par les Indiens. En revanche, ce sont les Arabes, excellents intermédiaires, qui ont diffusé ces chiffres dans toute l'Europe au cours du Xème siècle.
Selon du Sautoy, l'astronome et mathématicien de l'Antiquité Brahmagupta est le premier à avoir employé le zéro. « Le texte de Brahmagupta intitulé Brahmasphutasiddhanta et écrit en 628 après J. -C.
Le chiffre 0 s'utilise pour caractériser l'état de ce qui est sans valeur, gratuit (0 €, par exemple), infinitésimal (0,000000001 par exemple) ou nul.