Un nombre qui n'est pas divisible par 3, ne l'est pas par 9. 97 n'est divisible par aucun des entiers de 2 à 9. Donc 97 est un nombre premier. Propriété : Tout nombre non premier peut se décomposer en produit de facteurs premiers.
Les vingt-cinq nombres premiers inférieurs à 100 sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, et 97.
Un nombre entier naturel (supérieur ou égal à 2) est un nombre premier s'il admet exactement 2 diviseurs : 1 et lui-même. Exemple : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 … sont des nombres premiers. Il en existe une infinité.
97 n'a pas de facteur hormis 1 et 97 .
Pour décomposer un nombre en ses facteurs premiers, on le divise successivement par 2, 3, 5, 7, ... soit la suite des nombres premiers et on divise au besoin plus d'une fois par le même nombre. Ainsi, pour trouver les facteurs premiers de 378, on fait ces opérations. On divise 378 par 2 ; on obtient 189.
Un nombre premier est donc un nombre dont ses seuls diviseurs sont 1 et lui-même. Citons quelques nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, … et quelques plus grands : 22 091, 9 576 890 767 ou encore ce géant : 95 647 806 479 275 528 135 733 781 266 203 904 794 419 563 064 407.
Grâce au crible ou tout autre moyen, listons les nombres premiers plus petits que 200 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197 et 199.
Concernant 77, la réponse est : Non, 77 n'est pas un nombre premier. La liste de ses diviseurs entiers (c'est-à-dire la liste des nombres entiers qui divisent 77) est la suivante : 1, 7, 11, 77. Pour que 77 soit un nombre premier, il aurait fallu que 77 ne soit divisible que par lui-même et par 1.
Une astuce supplémentaire pour retenir les nombres premiers jusqu'à 20. Tous les multiples de 6 jusqu'à 20 ont deux nombres voisins qui sont des nombres premiers. 2 nombres premiers jumeaux sont deux nombres premiers s'il ne diffèrent que de 2. 6 x 1 = 6 → 5 et 7.
Pourquoi 97? parce que c'est le plus grand nombre premier inférieur à 100 (les restes de division seront toujours à deux chiffres).
Quatre-vingt-dix-sept.
Cette liste est infinie. Remarque : Le nombre 1 n'est pas premier car il n'a qu'un seul diviseur. Définition : On dit que deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur seul diviseur commun est 1. Tout nombre non premier peut se décomposer en produits de facteurs premiers.
Définition 2 : Un nombre naturel est premier s'il est plus grand que 1 et qu'il n'est divisible que par 1 et par lui-même. »
Par exemple 211-1 = 2047, un nombre qui n'est pas premier car il est divisible par 23 et 89.
Concernant 91, la réponse est : Non, 91 n'est pas un nombre premier. La liste de ses diviseurs entiers (c'est-à-dire la liste des nombres entiers qui divisent 91) est la suivante : 1, 7, 13, 91. Pour que 91 soit un nombre premier, il aurait fallu que 91 ne soit divisible que par lui-même et par 1.
Les nombres premiers
Rappelons qu'un nombre premier est un nombre entier naturel possédant exactement deux diviseurs entiers naturels, à savoir 1 et lui-même — ce qui exclut 1 comme nombre premier. La suite des nombres premiers commence ainsi : 2,\, 3,\, 5,\, 7,\, 11,\, 13,\, 17,\, 19,\, 23,\, 29,\, 31,\, \dots .
Si 11 111 n'est pas un nombre premier puisqu'il est divisible par 1, par lui-même et par 41 (11 111 divisé par 41 vaut 271). En revanche la valeur de 11 111 en base 2 est 31, qui est un nombre premier, et, qui plus est, un nombre premier de Mersenne.
319 = 11 × 29 donc 319 est divisible par 11 et n'est pas un nombre premier.
Contrairement au 12, certains nombres ne possèdent que 2 diviseurs, à savoir 1 et lui-même. Ce sont des nombres premiers. Exemple : 13 est un nombre premier, car il a pour diviseur 1 et 13.
Soient a et b deux entiers relatifs non nuls. On dit que a et b sont premiers entre eux lorsque leurs seuls diviseurs communs sont 1 et −1.
Un nombre premier est un entier positif qui n'a pas d'autres diviseurs positifs que lui même et 1. On choisit de considérer que 1 n'est pas un nombre premier. Nous verrons dans la suite une justification de ce choix, en particulier pour avoir l'unicité de la décomposition d'un nombre en produit de facteurs premiers.