D'un point de vue pratique : 3 points de l'espace définissent un plan si et seulement si ces 3 points ne sont pas alignés. Pour prouver que les points A, B et C ne sont pas alignés, il suffit de montrer, par exemple, que les vecteurs et ne sont pas colinéaires.
Pour montrer qu'un point appartient à un plan donné par une équation cartésienne, on s'assure que ses coordonnées vérifient l'équation. Pour passer d'une équation cartésienne à une équation paramétrique d'un plan, on exprime une variable en fonction des 2 autres qu'on appelle t et t′.
L'espace vectoriel R 3 a pour dimension 3 . La partie { u , v , w } contient exactement trois vecteurs, aussi, pour démontrer que ( u , v , w ) est une base de R 3 , il suffit de démontrer que la partie { u , v , w } est une partie libre. Le triplet ( 0 , 0 , 0 ) est l'unique solution du système ( S ) .
Pour déterminer si trois points sont alignés, il existe plusieurs méthodes. Les points A, B et C sont alignés ⇔ (AB) et (AC) ont le même cœfficient directeur . A(3 ; 7), B(0 ; –2) et C(1 ; 1) sont-ils alignés ? Les deux cœfficients directeurs sont égaux à 3, donc A, B et C sont alignés.
Méthode utilisant l'appartenance des trois points A, B et C
donc : -3a + b + c + d = 0. Exprimons les variables a, b, c et d en fonction d'une par exemple a : on "retombe" bien sur la même équation ou sur une équation dont les coefficients sont proportionnels à ceux trouvés dans la première méthode.
Pour déterminer une équation cartésienne d'un plan passant par A et de vecteur normal \vec{n}, on peut : donner la forme générale de l'équation : ax + by + cz + d = 0 ; remplacer les coefficients a, b, c par les coordonnées du vecteur \vec{n} ; déterminer ensuite la valeur de d à l'aide des coordonnées du point A.
L'équation cartésienne d'un plan est du type ax + by + cz + d = 0 avec (a ;b ;c) les coordonnées d'un vecteur normal du plan .
Les points de suspension (…), aussi appelés trois points ou anciennement points suspensifs, indiquent que la phrase est laissée en suspens (comme l'indique le terme suspension), soit parce que le locuteur a été interrompu, soit parce que l'auteur veut marquer une pause; il revient alors au lecteur d'imaginer la suite.
Les points de suspension sont représentés par trois points alignés horizontalement au niveau de la ligne de base d'écriture : classiquement par la suite de trois fois le caractère « point » ‹ ... › ou par le caractère unique « points de suspension » ‹ … ›.
Pourquoi trois points ? La signification précise de trois points disposés en triangle pour le tatouage « Mort aux vaches » n'est pas connue avec certitude. Cependant, certains avancent que les trois points représenteraient les trois balles nécessaires pour tuer une vache.
Exemple. Soit v1 = (1,1,0), v2 = (1,2,3) et F = Vect(v1,v2). On peut vérifier que ces deux vecteurs sont linéairement indépendants, donc ils forment une base de F. Si z − 3y + 3x = 0, il n'y a pas de solution.
On appelle base du plan vectoriel tout couple de deux vecteurs non colinéaires. Ainsi, deux vecteurs ⃗ u et ⃗ v non colinéaires forment une base notée ⃗ ⃗ (u , v ).
Pour ce côté là, il suffit de dire que le cardinal de (u,v) est égal au cardinal de (i,j), autrement dit, (u,v) contient autant de vecteurs que (i,j). Donc (u,v) est génératrice de V. De plus, dim V = 2 car (i,j) est une base de V. Donc (u,v) est une base de V.
Comment prouver que les points sont alignés ? Les points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs ⃗ AB et ⃗ AC sont colinéaires. Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs ⃗ AB et ⃗ CD sont colinéaires.
Un point M est sur le segment [AB] si et seulement si ABk AM = avec 0 < k < 1 .
Un excès de vitesse compris entre 30 km/h et 40 km/h
L'excès de vitesse compris entre 30km/h et 40km/h est puni par une contravention de 4ème classe. Elle entraine la perte de 3 points sur le permis.
Le point (du latin punctum, d'où ponctuation) est un signe de ponctuation qui sert à marquer la fin d'une phrase, d'un syntagme, d'un groupe de sens important, et peut donc marquer graphiquement une pause relativement longue dans un énoncé.
Un désaccord
“Les trois petits points peuvent être un marqueur d'opposition que l'on n'est pas capable d'exprimer directement.
Les règles liées à la ponctuation
Une espace avant, une espace après : Tiret d'incise. Une espace insécable avant, une espace après : deux-points, point-virgule, point d'exclamation, point d'interrogation, guillemets français fermants, pourcentage, signes mathématiques.
On recense traditionnellement en français onze signes de ponctuation qui s'insèrent dans le texte : le point . , le point d'interrogation ? , le point d'exclamation ! , la virgule , , le point-virgule ; , le deux-points : , les points de suspension … , les parenthèses ( ) , les crochets [ ] , les guillemets « » , le ...
Les points de suspension se placent généralement devant la virgule et le point-virgule : La littérature, la politique, l'histoire…, tous les sujets l'intéressent.
Si d ≠ 0, le plan ne passe pas par l'origine du repère. u non nul est orthogonal ( ou normal ) à un plan si sa direction est une droite orthogonale au plan.
Deux plans sont parallèles lorsque deux droites sécantes de l'un des plans sont respectivement parallèles à deux droites sécantes de l'autre plan.
En géométrie classique, un plan est une surface plate illimitée, munie de notions d'alignement, d'angle et de distance, et dans laquelle peuvent s'inscrire des points, droites, cercles et autres figures planes usuelles.