Les calculs se rapportant aux triangles quelconques s'effectuent à l'aide de deux lois : - la loi des sinus ; - la loi des cosinus. La loi des sinus établit que le rapport entre la mesure du côté opposé à un angle et le sinus de cet angle est équivalent pour tous les angles d'un triangle quelconque (figure 4.32).
Pour calculer l'aire d'un triangle quelconque, on multiplie la base par la hauteur puis on divise par 2.
Dans tout triangle ABC, on a l'inégalité : A B ≤ AC+BC . Si 3 points sont tels que AB= AC+BC alors on peut affirmer que C appartient à [AB].
Théorème de Pythagore :
Dans un triangle ABC rectangle en A, on a BC2=AB2+AC2. On peut réécrire cette égalité en AB2=BC2−AC2 pour déterminer la longueur AB ou en AC2=BC2−AB2 pour déterminer la longueur AC.
Théorème de Pythagore :
Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Avec les notations du triangle ABC rectangle en A, on a BC2=AB2+AC2.
Pour trouver la longueur du côté manquant d'un triangle, vous pouvez utiliser différentes méthodes selon le type de triangle : Triangle rectangle : Utilisez le théorème de Pythagore, a 2 + b 2 = c 2 , où est l'hypoténuse.
Cette relation est valable pour tous les côtés d'un triangle quelconque, d'où : b2 = a2 + c2 - 2ac cos. B.
Triangle rectangle (Théorème de Pythagore) :
"Un triangle quelconque n'a pas de propriété particulière.
Concrètement, si l'on mesure un triangle dont les côtés font 3, 4 et 5 unités respectivement, il sera forcément rectangle. Mesurez une première longueur (3 unités). Mesurez une seconde longueur perpendiculaire (4 unités). Vérifiez la diagonale (5 unités).
La formule pour calculer l'aire A d'un triangle de base b et de hauteur h est : A = b×h2. La formule d'Héron est une formule qui permet de calculer l'aire A d'un triangle à partir des mesures de ses trois côtés, où s est le demi-périmètre du triangle : A = √s(s – a)(s – b)(s – c).
La loi des sinus est un théorème fondamental de trigonométrie qui établit que dans tout triangle, les rapports entre les longueurs des côtés et les sinus des angles opposés sont égaux: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C), où a, b, c sont les longueurs des côtés et A, B, C les angles opposés respectivement.
Cette relation entre les longueurs s'exprime par la formule a² + b² = c², où c représente l'hypoténuse et a, b les petits côtés. Hérité de la Grèce antique, ce principe fondamental permet de calculer n'importe quelle longueur manquante lorsque vous connaissez les deux autres.
Exemple concret avec triangle
Une droite parallèle à [BC] coupe [AB] en M tel que AM = 5 cm, et coupe [AC] en N. Pour déterminer AN, nous appliquons le théorème de Thalès : AM/AB = AN/AC. En substituant les valeurs : 5/8 = AN/6. Le calcul donne AN = (5 × 6)/8 = 3,75 cm.
Comment calculer l'hypoténuse ? L'hypoténuse est le côté opposé de l'angle droit du triangle rectangle, le côté le plus long. Selon le théorème de Pythagore, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés à angle droit (les jambes).