Le théorème de Bernoulli pose la base de la dynamique des fluides et plus généralement de la mécanique des fluides. Il permet d'expliquer de nombreux phénomènes, notamment en aérodynamique.
La loi de probabilité donnant le nombre de succès sur ces n répétitions est la loi binomiale de paramètres n et p (notée B(n;p)). Il s'agit en fait d'une généralisation de la loi de Bernoulli dans le cas où l'on répète plusieurs fois l'expérience.
Une variable aléatoire X suit une loi binomiale lorsqu'elle compte le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli (répétition un nombre fini de fois de façon indépendante d'une même épreuve de Bernoulli).
La loi de Poisson est aussi appelé la LOI des évenements rares. La loi de Poisson se définit par une formule assez compliquée. E[X] = λ σ (X) = √ λ. C'est la seule LOI connue qui ait toujours son espérance égale à sa variance.
À son allure générale : le poisson doit être brillant et recouvert d'un mucus translucide. À sa peau : elle ne doit pas être tachetée. À ses écailles : elles doivent être intactes. À ses yeux : ils doivent être brillants, clairs et bien bombés.
Lorsque la valeur de lambda augmente, une loi de Poisson se rapproche d'une distribution normale, la moyenne et la variance (non pas l'écart type) étant égales à lambda : N(lambda, lambda). Cette propriété permet des approximations normales lors de l'exécution de tests d'hypothèses.
La loi hypergéométrique (loi d'une variable aléatoire lors d'un tirage sans remise) peut être approchée par la loi binomiale lorsque le nombre d'individus de la population est très grand devant le nombre d'individus étudiés. On peut alors également approcher la loi binomiale par une des deux lois précédentes.
Remarque : on dit que cette loi de probabilité est la loi du nombre de succès. On nomme coefficient binomial, noté qui se lit k parmi n, le nombre de chemins ayant k succès de l'arbre d'un schéma de Bernoulli d'ordre n. Pour le schéma de Bernoulli précédent : Pour 0 succès on a car un seul chemin n'a aucun succès.
Un schéma de Bernoulli d'ordre n est la répétition, d'une manière indépendante, d'une épreuve de Bernoulli n fois. On lance trois fois de suite une pièce truquée pour laquelle la probabilité d'obtenir pile est . On note X le nombre de fois qu'on obtient pile lors de ces trois lancers.
Du mathématicien suisse Jacques Bernoulli.
Utilisez la loi hypergéométrique avec des populations très faibles afin que le résultat d'un essai ait un effet important sur la probabilité selon laquelle le résultat suivant sera un événement ou un non-événement. Par exemple, dans une population de 10 personnes, 7 sont du groupe sanguin O+.
Elle peut être utilisée dans un grand nombre de situations, c'est ce qui la rend si utile. Lorsqu'un phénomène est influencé par de nombreux facteurs dont aucun n'est prépondérant les résultats des mesures de ce phénomène obéissent à une loi normale.
Le principe de Bernoulli stipule que plus la vitesse d'un fluide est grande, plus sa pression est petite. Une façon d'observer ce principe est de placer une feuille de papier sous sa bouche. Au repos, la feuille tombe. Lorsqu'on souffle droit devant, la feuille remonte.
Le principe de Bernoulli est utilisé dans le fonctionnement de l'aile d'un avion. C'est la différence de profil entre le dessus et le dessous de l'aile qui influence la vitesse de l'air, ce qui crée une différence de pression qui permettra la portance de l'avion1.
L'espérance et la variance d'une variable aléatoire X qui suit une loi binomiale de paramètres n et p sont obtenues grâce aux formules E(X)=np et V(X)=np(1−p).
"Au moins" signifie qu'on a une certaine valeur ou plus. Il s'agit donc du symbole plus grand ou égal (≥). Voici un exemple : j'ai besoin d'au moins 3 crayons. Ainsi, le nombre de crayons ≥ 3.
La probabilité que le candidat réponde correctement à au moins 2 questions est d'environ 76 %.
La loi binomiale négative est une loi de probabilité proche de la loi géométrique. Cette dernière s'applique à une variable discrète qui compte le nombre d'essais avant d'arriver à un succès (de probabilité p).
Par exemple, si un certain type d'événements se produit en moyenne 4 fois par minute, pour étudier le nombre d'événements se produisant dans un laps de temps de 10 minutes, on choisit comme modèle une loi de Poisson de paramètre λ = 10×4 = 40.
L'écart-type
Il détermine la répartition de points de données par rapport à la moyenne. L'écart-type définit la largeur de la courbe ainsi que la distance entre la moyenne et les points de données. Si la valeur de l'écart-type est faible, la courbe est pointue. S'il est élevé, la courbe s'aplatit.
Comment savoir si une loi est uniforme ? Il s'agit d'une loi uniforme si chaque issue a une probabilité égale d'arriver.
Une variable discrète est toujours numérique. Par exemple, le nombre de plaintes de clients ou le nombre de défauts. Les variables continues sont des variables numériques ayant un nombre infini de valeurs entre deux valeurs. Une variable continue peut être numérique ou il peut s'agir de données de date/d'heure.
Une variable discontinue est dite discrète si elle ne contient que des valeurs entières (exemple : nombre d'enfants d'une famille). Par ailleurs, une variable continue accepte toutes les valeurs d'un intervalle fini ou infini (exemple : diamètre de pièces, salaires…).