Traditionnellement, et sans précision ou contexte particulier, une LCI est notée * comme ci-dessus ou F ("truc"). On peut également adopter un formalisme additif (la LCI est alors notée +) ou multiplicatif (× ou .). Soit E un ensemble muni d'une loi de composition interne *. Soit F une partie de E.
Pour que l'opération considérée soit effectivement une loi de composition interne, il faut qu'elle ait un sens quels que soient les deux éléments de l'ensemble choisis (on dit formellement que l'opération doit être définie partout).
a) Définition :
Soit un ensemble E muni d'une loi de composition interne additive On dit qu'un sous ensemble A de E est stable pour l'opposé si et seulement si pour tout élément x appartenant à A, -x appartient à A.
On appelle symétrique de x un élément x de E, s'il existe, tel que : x ∗ x = x ∗ x = e . Si x existe, x est dit symétrisable. Cela équivaut à dire que x est symétrisable à droite et à gauche et que ses symétriques à droite et à gauche sont égaux.
Si une opération * est définie dans un ensemble E, alors n est un élément neutre de l'opération * si et seulement si, quels que soient les éléments x de E, on a : x * n = x.
Dans un anneau (A, +, ×), l'élément neutre 0 de + est absorbant pour ×. En effet, comme l'élément nul 0 est l'élément neutre de l'addition : 0 = 0 + 0. Ainsi, pour tout élément a de l'anneau A, a×0 = a×(0 + 0).
si E ≠ F et G = F, la loi * : E × F → F est appelée loi de composition externe à gauche sur F ou loi de composition externe, et E est alors le domaine des opérateurs ; si E ≠ F et G = E, la loi * : E × F → E est appelée loi de composition externe à droite sur E de domaine F.
L'élément symétrique d'un élément x d'un ensemble E pour une opération ⊕ définie dans E est l'élément x ' de E tel que x ⊕ x ' = n où n ∈ E est l'élément neutre pour l'opération ⊕.
Distribuer la multiplication
Lorsqu'un nombre est collé à une parenthèse, on développe l'expression en multipliant le nombre par chaque terme de la parenthèse. La multiplication est ainsi distribuée au sein de la parenthèse, c'est ce qu'on appelle la distributivité simple.
Si une lci admet un élément neutre, celui-ci est unique. Démonstration. Supposons qu'il existe deux éléments neutres e1 et e2. On a alors e1 ∗ e2 = e1 car e2 est un élément neutre, mais aussi e1 ∗ e2 = e2 car e1 est un élement neutre, donc e1 = e2.
Dans le monoïde (ℕ, ×), les éléments idempotents sont 0 et 1. Dans les monoïdes (?(E), ∪) et (?(E), ∩) de l'ensemble des parties d'un ensemble E muni de l'union ensembliste ∪ et de l'intersection ensembliste ∩ respectivement, tout élément est idempotent.
un élément régulier est un élément par lequel on peut simplifier. un espace régulier est un espace topologique possédant une forte propriété de séparation. un langage régulier est un type de langage formel et une expression régulière est un moyen de le décrire.
Définition 1.2 On dit que G est abélien (ou commutatif) si on a de plus xy = yx pour tous x, y de G. Dans ce cas on notera souvent + la loi, 0 le neutre, et −x le symétrique de x qu'on appelle alors l'opposé de x. Remarques : Si (G, +) est un groupe abélien, on peut noter x − y pour x + (−y) = (−x) + y.
La loi de composition interne alors définie sur F par F2⟶F(x,y)↦x∗y est appelée loi induite par ∗ sur F.
En mathématiques, un groupe est une des structures algébriques fondamentales de l'algèbre générale. C'est un ensemble muni d'une loi de composition interne associative admettant un élément neutre et, pour chaque élément de l'ensemble, un élément symétrique.
k × (a + b) = k × a + k × b. D'après ce qui précède, et en généralisant à la soustraction, on obtient les formules de distributivité suivantes : k × (a + b) = k × a + k × b ; écriture simplifiée : k(a + b) = ka + kb.
Distributivité simple
La multiplication est distributive par rapport à l'addition, c'est-à-dire que : k × (a + b) = k × a + k × b pour tous les nombres k, a et b.
Les propriétés de l'addition : commutativité, associativité et élément neutre. Cette leçon porte sur les trois principales propriétés de l'addition. L'addition est commutative : On peut changer l'ordre des termes.
On dit qu'une propriété P est stable par combinaison linéaire, si ∀(x, y) ∈ E2, x et y vérifient P implique ∀λ, µ scalaires, λx + µy vérifie P.
Une loi de probabilité est une distribution théorique de fréquences. Soit Ω un ensemble muni d'une probabilité P. Une variable aléatoire X est une application définie sur Ω dans ℝ. X permet de transporter la loi P en la loi P' définie sur Ω′=X(Ω) : on a P′(xj)=P(X−1(xj))=P(X=xj).
Définition de Loi. Au sens large, une "loi" est une disposition normative et abstraite posant une règle juridique d'application obligatoire.
1 est l'élément neutre de la multiplication. Cela signifie que le produit de tout nombre par 1 est égal à lui-même. Concrètement, multiplier un nombre par 1 c'est prendre une fois ce nombre. Par exemple 32×1 ou 1×32=32.
La commutativité est la propriété qui permet d'intervertir les termes d'une opération sans en changer le résultat. L'addition est commutative : a + b = b + a. La soustraction n'est pas commutative.