Pour montrer que U est une famille génératrice de E, on prend un x quelconque dans E et on cherche à l'exprimer comme combinaison linéaire des vecteurs de la famille. Si on a montré précédemment que E est égal à vect(U), on peut directement conclure que U est génératrice de E.
Dans le cas où les familles sont infinies, une famille sera libre si toute sous-famille finie l'est. Une famille est liée si elle n'est pas libre. Une famille est génératrice si tout vecteur de l'espace s'écrit comme combinaison linéaire finie des vecteurs de la famille.
Systèmes générateurs
On dit qu'un système S=(u1,u2,....,un) est 'générateur' pour l'espace E si tout vecteur de E peut s'écrire comme une combinaison linéaire des ui. Cela revient à dire que E est le plus petit sous-espace contenant tous les ui.
Si on enlève un vecteur à une famille libre, alors elle ne peut plus être génératrice. En effet, le vecteur que l'on vient d'enlever n'est pas combinaison linéaire des autres, donc il n'est pas dans l'espace engendré par les autres.
En théorie des groupes, une partie génératrice d'un groupe est une partie A de ce groupe telle que tout élément du groupe s'écrit comme produit d'un nombre fini d'éléments de A et de leurs inverses.
Définition 3 Une famille F = { v1,..., vn} d'un espace vectoriel V sur un corps K est dite génératrice lorsque tout vecteur v ∈ V est combili de ses vec- teurs. Ainsi par exemple le vecteur (0, 1, 2) est combili de (1, 1, 1), (1, 2, 3), (1, 2, 4) avec les coefficients λ = −1,µ = 1,ν = 0.
Si tous les vecteurs de la famille appartiennent à un sous-espace vectoriel strict de E (qui est donc inclus dans E, mais qui n'est pas égal à E), cette famille ne peut pas être génératrice de E. Toute famille u_1, u_2,…, u_n de E qui est une base de E est génératrice de E.
Démonstration : a) Soit d := max{k ≥ 0 : ∃ e1, ..., ek ∈ E,{e1, ..., ek} est libre}. Comme la famille vide est libre et comme une famille libre a au plus n éléments, l'en- tier d est bien défini. Si {e1, ..., ed} est une famille libre, elle est forcément libre maximale.
L'espace vectoriel R 3 a pour dimension 3 . La partie { u , v , w } contient exactement trois vecteurs, aussi, pour démontrer que ( u , v , w ) est une base de R 3 , il suffit de démontrer que la partie { u , v , w } est une partie libre ou bien que la partie { u , v , w } est une partie génératrice de R 3 .
Définition d'une base
Une famille de vecteurs de E est une base de E si c'est une famille à la fois génératrice de E et libre. De façon équivalente, une famille est une base de l'espace vectoriel E quand tout vecteur de l'espace se décompose de façon unique en une combinaison linéaire de vecteurs de cette base.
Un générateur possède deux bornes : une borne chargée positivement et une borne chargée négativement. Lorsqu'on dessine un générateur sur un schéma de principe, ces bornes sont représentées par des traits verticaux et parallèles. L'un des traits est plus court et plus épais et l'autre est plus long et plus fin.
Un générateur de courant continu est un appareil qui convertit de l'énergie mécanique en énergie électrique. Une bobine tourne dans le champ magnétique d'un aimant. À chaque fois qu'elle fait un demi-tour, le courant change de sens de circulation dans la bobine.
Pour démontrer que E=F⊕G E = F ⊕ G , on peut : trouver la dimension de F , la dimension de G , vérifier que F∩G={0} F ∩ G = { 0 } puis que dim(F)+dim(G)=dim(E) (voir cet exercice).
Sur un corps K, un espace vectoriel E est dit de dimension finie s'il admet une base finie. Il suffit pour cela qu'il admette une famille génératrice finie. Les espaces de dimension finie jouissent de propriétés qui leur sont propres.
Exemple. Soit v1 = (1,1,0), v2 = (1,2,3) et F = Vect(v1,v2). On peut vérifier que ces deux vecteurs sont linéairement indépendants, donc ils forment une base de F. Si z − 3y + 3x = 0, il n'y a pas de solution.
Si , et sont trois vecteurs non coplanaires, alors ils constituent une base de l'espace. On note cette base . Soit une base de l'espace, alors, pour tout vecteur de l'espace, il existe un unique triplet (x ; y ; z) de réels tels que . Dans ce cas, on dit que l'on a décomposé en fonction de , et .
La base canonique de l'espace ℝ3 à trois dimensions se compose des trois vecteurs : Pour n entier, le produit scalaire canonique de Kn est celui pour lequel la base canonique est orthonormée.
ℝ3 est une notation mathématique qui désigne l'ensemble des triplets de nombres réels.
On dit que deux vecteurs sont colinéaires si, en multipliant les composantes de l'un des vecteurs par un scalaire k (constante), on obtient les composantes de l'autre vecteur.
En mathématiques, une combinaison linéaire est une expression construite à partir d'un ensemble de termes en multipliant chaque terme par une constante et en ajoutant le résultat. Par exemple, une combinaison linéaire de x et y serait une expression de la forme ax + by, où a et b sont des constantes.
– Le système (u) ne contenant qu'un seul vecteur est libre si u est non nul, lié si u est le vecteur nul.
Retraite, inutilité, souffrance psychique, dépression… Sexualité, divorce des enfants… Souffrance des petits-enfants. Vieillir, vieillissement, maladie, perte d'autonomie, dépendance… Problème de couple, divorcer…
Parce que la famille constitue le lieu des expériences les plus intenses et les plus significatives de la vie humaine. La famille constitue le premier et le plus important milieu social; la qualité de la vie adulte dépend grandement de la qualité des relations entre les membres de la famille.