On dit que γ∈E γ ∈ E est un point fixe de f si f(γ)=γ. f ( γ ) = γ . Si f est définie sur un intervalle I de R , cette propriété se traduit graphiquement par le fait que la courbe représentative de f coupe la droite d'équation y=x en le point (γ,γ).
Montrer que f admet un point fixe. Soit φ:[0;1]→ℝ définie par φ(x)=f(x)-x. Un point fixe de f est une valeur d'annulation de φ. φ est continue, φ(0)=f(0)≥0 et φ(1)=f(1)-1≤0 donc, par le théorème des valeurs intermédiaires, φ s'annule.
Théorème du point fixe
Soient f une fonction définie et continue sur un intervalle I dans lui‑même et (un) la suite définie par un réel u0∈I et, pour tout n∈N, un+1=f(un). Si (un) converge vers ℓ∈I, alors ℓ est solution de l'équation f(x)=x.
Soit ƒ une fonction continue sur un intervalle I. Soient a et b deux points de I et k un nombre compris entre ƒ(a) et ƒ(b). De plus, on suppose que ƒ est strictement monotone sur I. Alors il existe un unique point c compris entre a et b tel que ƒ(c) = k.
ainsi pour vérifier que f est contractante, on étudie la valeur absolue de f' sur I, il suffit de montrer que cette valeur absolue est strictement inférieure à un réel k < 1 pour conclure (il faut donc chercher le maximum de | f'| sur I.
Définition et exemples
Une application f d'un espace métrique (E, d) dans lui-même est dite k-contractante si 0 ≤ k < 1 et si, pour tout couple de points x et y de E, d(f(x), f(y)) ≤ kd(x, y). Elle est dite contractante si elle est k-contractante pour une certaine constante k.
Pour que f(x)=0, il faut forcément que le numérateur soit nul. Donc il faut résoudre l'équation suivante: C'est une équation du 3e degré, mais avec une racine évidente en x=0, donc tu peux en tirer une équation du 2e degré, qu'il faut résoudre.
Pour utiliser le TVI, on doit s'assurer que les conditions suivantes sont bien réalisées : + La fonction f doit être continue sur l'intervalle [a;b] + le réel k doit être compris entre f(a) et f(b) càd k☻[f(a);f(b)] lorsque f est strictement croissante et k☻[f(b);f(a)] lorsque f est strictement décroissante.
A retenir : a est l'abscisse d'un point d'inflexion de la courbe si la dérivée seconde s'annule en changeant de signe en a. Si la dérivée première s'annule en changeant de signe en a, alors a est l'abscisse d'un extremum.
Point fixe attractif
Si la fonction f possède une dérivée f' continue et |f '(x0)| < 1 alors le point fixe x0 est attractif. La démonstration est basée sur le théorème du point fixe de Banach. Par exemple, la fonction cosinus admet un unique point fixe x0 ≈ 0,7390851332, qui est attractif car sin(x0) < 1.
Ordre de convergence d'une méthode de point fixe
la constante d'erreur asymptotique est C = | g ″ ( x ∗ ) 2 | et la convergence est quadratique, c'est à dire d'ordre 2. On peut alors citer le théorème suivant. Théorème.
* L'amarrage est l'élément essentiel d'un dispositif de descente, de remontée ou de protection contre les chutes. * Il est réalisé à l'aide d'anneaux cousus et de mousquetons.
En mathématiques, un zéro ou point d'annulation d'une fonction est une valeur en laquelle cette fonction s'annule. Autrement dit, il s'agit d'un antécédent de la valeur zéro.
Une fonction est concave sur un intervalle si sa représentation graphique sur cet intervalle est entièrement située en-dessous de chacune de ses tangentes.
Si une fonction est décroissante et dérivable sur un intervalle alors sa dérivée est négative sur cet intervalle. Si une fonction est constante et dérivable sur un intervalle alors sa dérivée est nulle sur cet intervalle.
Si c'est une fonction trinôme, il suffit de calculer les racines mais si elle est un peu plus exotique, il faut approximer la ou les solutions avec la calculatrice. Soit f(x) =2x−2−150x2 = 2 x − 2 − 150 x 2 définie sur R∗+ (fonction étudiée en page coût marginal).
Un corollaire est une conséquence directe et immédiate du théorème précédent. En général, c'est une version du théorème dans un cas particulier. Par exemple, le corollaire suivant est l'application directe du T.V.I. appliqué aux fonctions strictement monotones sur un intervalle .
Si la fonction f est continue et strictement monotone (croissante ou bien décroissante) sur [a ; b] et si le réel m est compris entre f(a) et f(b), alors l'équation f(x) = m a une seule solution dans [a ; b]. Soit la fonction f : , définie et continue sur [-2 ; 4].
On place les valeurs pour lesquelles f change de sens de variation dans la première ligne du tableau de variations. On trace une flèche qui monte dans la deuxième ligne du tableau lorsque f est croissante et une flèche qui descend lorsque f est décroissante.
Dans l'alphabet, on a dans l'ordre : x, y et z. y est après x, c'est l'image de x. x est avant y, c'est l'antécédent de y.
On peut retenir l'ordre des signes grâce au raisonnement suivant : si le coefficient directeur a est positif, la fonction est croissante donc d'abord négative puis positive. si le coefficient directeur a est négatif, la fonction est décroissante donc d'abord positive puis négative.
On appelle zéro, ou abscisse à l'origine d'une fonction f, une valeur de x pour laquelle f(x)=0. Une fonction peut avoir plusieurs zéros.
Le centre ( point 0) d'un repère orthogonal se nomme l'origine du repère.
Les coordonnées à l'origine d'une fonction
L'ordonnée à l'origine d'une fonction est la valeur en y du point qui se trouve directement sur l'axe des ordonnées. Conséquemment, les coordonnées d'un tel point s'écrivent (0,y) . On parle aussi de la valeur initiale de la fonction.