On dit d'une fonction f qu'elle est positive sur un intervalle si, pour tout x dans cet intervalle, on a f(x) ≥ 0. La courbe représentative de la fonction est alors située au-dessus de l'axe horizontal, lorsqu'on se limite aux points dont l'abscisse appartient à l'intervalle considéré.
La fonction est positive lorsque 𝑥 est strictement inférieur à un, la fonction est négative lorsque 𝑥 est strictement supérieur à un et, enfin, la fonction est égale à zéro lorsque 𝑥 est égal à un.
Pour déterminer le sens de variation d'une fonction f , on étudie le signe de sa dérivée : f ′ ( x ) . Pour interpréter ce signe : Si f ′ ( x ) a le signe + sur un intervalle, alors f est croissante sur cet intervalle. Si f ′ ( x ) a le signe - sur un intervalle, alors f est décroissante sur cet intervalle.
Lorsque la courbe représentant une fonction est au-dessus de l'axe 𝑥 des abscisses, le signe de l'expression de la fonction est positif. Lorsque la courbe représentant une fonction est en-dessous de l'axe 𝑥 des abscisses, le signe de la fonction est négatif.
f est strictement croissante sur I si et seulement si f′≥0 f ′ ≥ 0 et si f′ n'est identiquement nulle sur aucun intervalle [a,b]⊂I [ a , b ] ⊂ I avec a<b .
Si la fonction est croissante (respectivement décroissante) alors la dérivée est positive (respectivement négative).
Lorsqu'on se promène sur la courbe en allant de la gauche vers la droite : Sur l'intervalle [0 ; 2,5], on monte, on dit que la fonction est croissante. Sur l'intervalle [2,5 ; 5], on descend, on dit que la fonction est décroissante.
Un nombre positif est un nombre qui est supérieur à zéro, par exemple 3 ou e.
Un nombre négatif, à l'inverse, donnera un nombre strictement inférieur. Le nombre 0 étant l'élément neutre de l'addition, s'il est ajouté à un autre nombre, il donnera ce même nombre. Il n'est donc ni négatif, ni positif. en maths normales ni l'un ni l'autre, ou les deux, selon le problème précis où le signe importe.
Quelques propriétés mathématiques du zéro
On dit que le zéro est un nombre cardinal, représentant l'ensemble vide. C'est le plus petit nombre entier naturel, et également un élément neutre, le seul à ne pas avoir d'inverse : il est à la fois positif et négatif.
On rappelle qu'une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue en tout point de l'intervalle. Par conséquent, nous devons déterminer si 𝑓 ( 𝑥 ) est continue en 𝑥 = 𝑎 pour tout 𝑎 ∈ [ 0 , 3 ] .
Admettons un ensemble des réels R, ou si vous préférez une droite graduée de chiffres réels. On appelle intervalle l'ensemble des nombres réels compris entre deux réels positifs ou réels négatifs a et b, ou de la même façon l'ensemble des points de la droite dont la marque est entre a et b.
Pour comparer deux fonctions définies par f(x) et g(x): - on calcule f(x) - g(x), en simplifiant autant que possible l'expression. - on réalise le tableau de signes du résultat (revoir les signes des fonctions affines et des trinômes !).
Propriété de positivité
En d'autre termes, l'intégrale d'une fonction positive sur un intervalle est positive, ce qui est logique dans la mesure où elle s'interprète comme une aire (voir le début du cours).
On retiendra qu'une intégrale peut être positive ou négative mais qu'une aire, elle, est toujours positive.
Si f ′ ( x ) a le signe + sur un intervalle, alors f est croissante sur cet intervalle. Si f ′ ( x ) a le signe - sur un intervalle, alors f est décroissante sur cet intervalle. Pour interpréter ce signe : Si f ( x ) a le signe +, alors la courbe de f est au dessus de l'axe des abscisses.
Le positif est contradiction absolue (c'est-à-dire contradiction de soi) en ce qu'il se pose comme identité à soi par exclusion du négatif et donc en ce qu'il se fait le négatif de quelque chose (il se fait lui-même l'autre qu'il exclut de soi).
Parmi l'ensemble des nombres négatifs et positifs, y compris le zéro, un nombre entier est un nombre sans élément décimal ou fractionnaire, tel que -5, 0, 1, 5, 8, 97 et 3043. Il existe deux sortes de nombres entiers: Nombres entiers positifs: Si un nombre entier est supérieur à zéro, il est considéré comme positif.
0 est positif et négatif. En revanche, 0 n'est ni strictement positif, ni strictement négatif.
Un nombre négatif est un nombre réel qui est inférieur à zéro, comme −3 ou −π.
Règle des signes —
Le produit de deux nombres positifs est positif ; le produit de deux nombres négatifs est positif ; le produit de deux nombres de signes contraires (c'est-à-dire d'un nombre positif et d'un nombre négatif) est négatif.
cos(π), on est bien de l'autre coté, π c'est cet angle ici, donc le cosinus vaut -1. sinus de π, sin(π) ça vaut 0, donc ça fait bien -1 ! Et donc on a montré que i^2 est égal à -1.
Énoncé On appelle généralement fonction nulle la fonction constante définie sur l'ensemble des nombres réels ou complexes par : ƒ(x) = 0.
Pour déterminer le sens de variation d'une fonction sur un intervalle I, on peut comparer les valeurs de f\left( a \right) et f\left( b \right) où a et b sont deux réels de l'intervalle I vérifiant a\lt b.
Pour trouver le maximum d'une fonction sur un intervalle , il faut : déterminer la dérivée de la fonction, ; résoudre l'équation f ′ ( x ) = 0 ; vérifier qu'il s'agit d'un maximum en testant d'autres valeurs de la fonction, ou en utilisant la dérivée seconde.