f est majorée sur I , s'il existe un réel M tel que pour tout x de I , f ( x ) ≤ M . On dit que M est un majorant de f . f est minorée sur I , s' il existe un réel m tel que pour tout x de I , f ( x ) ≥ m .
Fonctions majorées
On dit qu'une fonction numérique (f,D) est 'majorée sur D' sur l'ensemble f(D) est majoré, autrement dit s'il existe un réel M tel que f(x)≤M ∀x∈D. Illustration: Il résulte de cette définition que: Si f est majorée sur D, alors l'ensemble f(D) possède une borne supérieure.
4.2 Comparer, majorer, minorer des fonctions réelles
Soit . · On dit que f est majorée, s'il existe un réel M tel que . Dans ce cas, on appelle borne supérieure de f sur l'intervalle I, noté , le plus petit majorant de f. · On dit que f est minorée, s'il existe un réel m tel que .
Si la fonction f n'est pas majorée, alors il existe au moins un réel x tel que f(x) > M. Si la fonction f est croissante, alors toutes les valeurs de x telles que f(x) > M sont contenues dans l'intervalle ]M ; + ∞[. Ainsi la fonction f tend vers + ∞ quand x tend vers + ∞.
1) Initialisation de la récurrence: on trouve une valeur N0 pour laquelle la propriété que l'on cherche à démontrer soit vraie pour n=N0 (ici UN0 < -4). 2) On suppose qu'il existe un certain rang N pour laquelle la propriété est vraie et on montre qu'elle est vraie au rang N+1.
Montrer que la suite est minorée
Si le minorant m est donné dans l'énoncé, on montre que \left(u_n\right) est minorée par m. Pour cela, on montre que \forall n \in \mathbb{N}, u_n\geqslant m. Si le minorant m n'est pas donné dans l'énoncé, il faut préalablement le déterminer par une conjecture.
Si une suite est croissante et converge vers L L L, alors elle est majorée par L L L. Si une suite est décroissante et converge vers L L L, alors elle est minorée par L L L.
1. Augmenter de tant le prix, la valeur ou le montant de quelque chose : Majorer de 10 % les salaires. 2. Estimer quelque chose au-dessus de sa valeur véritable : Facture majorée de 10 %.
Théorème : Soit I un intervalle de R et f:I→R f : I → R dérivable. Alors : f est croissante sur I si et seulement si, pour tout x∈I x ∈ I , f′(x)≥0 f ′ ( x ) ≥ 0 ; f est strictement croissante sur I si et seulement si f′≥0 f ′ ≥ 0 et si f′ n'est identiquement nulle sur aucun intervalle [a,b]⊂I [ a , b ] ⊂ I avec a<b .
Si une fonction f est définie et continue sur un intervalle [ a ; b ] [a; b ] [a;b] ; alors, pour tout réel k compris entre f ( a ) f(a) f(a) et f ( b ) f(b) f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f ( c ) = k f(c)=k f(c)=k.
Une suite (un) est majorée s'il existe un nombre M tel que, pour tout entier naturel n, u n ≤ M u_n \leq M un≤M. M est appelé le majorant de (un).
On dit qu'une fonction f est croissante ssi pour x et y dans le DD de f , si on a x ≤ y, on a aussi f (x) ≤ f (y). En langage plus formel, ça donne ∀x,y ∈ DD(f ),x ≤ y ⇒ f (x) ≤ f (y).
Soit f : I → R une fonction continue. Alors – f est bornée : il existe M ≥ 0 tel que pour tout x ∈ I, |f(x)| ≤ M ; – f atteint ses bornes : il existe c1, c2 ∈ I tel que f(c1) = min{f(x) | x ∈ I}, f(c2) = max{f(x) | x ∈ I}. Preuve.
Un espace sur lequel toute fonction continue à valeurs réelles est bornée s'appelle un espace pseudo-compact (en). Sur un tel espace, toute fonction continue f à valeurs réelles atteint automatiquement sa borne supérieure M (sinon, la fonction 1/(M – f) serait continue et non bornée) et, de même, sa borne inférieure.
b. Soit B = { x ∈ R , x = l n ( 1 + n ) , n ∈ N } ; -10, 0 sont des minorants de ; est une partie minorée de mais n'est pas majorée (il existe des éléments de arbitrairement grands). On remarque que 0 est un minorant de qui appartient à .
Croissance d'une fonction : Définition : Soit f : I une fonction définie sur l'intervalle I. Dire que la fonction f est croissante sur l'intervalle I signifie que si x et y sont deux réels de l'intervalle I tels que x < y alors f(x) f(y). Remarque 1 : La croissance d'une fonction est toujours rattachée à u intervalle.
Les fonctions constantes sont les seules fonctions simultanément croissantes et décroissantes. Toute fonction affine est monotone (strictement croissante si le taux d'accroissement est strictement positif, strictement décroissante si le taux d'accroissement est négatif).
En mathématiques, une fonction monotone est une fonction entre ensembles ordonnés qui préserve ou renverse l'ordre. Dans le premier cas, on parle de fonction croissante et dans l'autre de fonction décroissante.
Au féminin, on écrit aussi la majore Votre navigateur ne prend pas en charge audio. . nom féminin anglicisme Entreprise parmi les plus grandes d'un secteur d'activité. Les majors de l'industrie du disque. recommandations officielles compagnie majeure, grande compagnie, majeure.
désigne une valeur] Augmenter (un prix, un traitement). Synon. élever, hausser, relever; anton.
a) On étudie le signe de la différence un+1 − un. ▶ Si un+1 − un est positive, alors la suite (un) est croissante. ▶ Si un+1 − un est négative, alors la suite (un) est décroissante. b) Si tous les termes de la suite sont strictement positifs, alors il suffit de comparer le rapport un+1 un à 1.
Si la suite est une suite arithmétique, le nombre réel r s'appelle la raison de cette suite. Autrement dit, une suite est arithmétique si et seulement si chaque terme s'obtient en ajoutant au terme précédent un nombre réel r, toujours le même.
Tout comme pour une suite arithmétique, l'expression de Un en fonction de n pour une suite géométrique est très simple. Il faut connaître la valeur de la raison et du premier terme de la suite. En général, la justification de la suite géométrique est un préalable. Cette question précède souvent le calcul de la limite.