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En mathématiques, un espace métrique M est dit complet ou espace complet si toute suite de Cauchy de M a une limite dans M (c'est-à-dire qu'elle converge dans M). La propriété de complétude. On dit d'un objet...) dépend de la distance.
Un espace métrique est compact si et seulement si de toute intersection vide de fermés de E, on peut en extraire une sous-famille finie d'intersection vide. En d'autres termes, si (Fi)i∈I est une famille de fermés telle que ⋂i∈I Fi = ∅, alors il existe J ⊂ I fini tel que ⋂i∈J Fi = ∅.
Si une suite diverge pour une norme, elle diverge pour toute norme équivalente. Si une suite converge vers , alors sa limite est unique. L'ensemble des suites convergentes de est un espace vectoriel et l'application qui à toute suite convergente associe sa limite est linéaire. Toute suite convergente est bornée.
Une partie K de E est dite compacte si, de toute suite (un) d'éléments de K , on peut extraire une sous-suite convergente vers un élément de K . En particulier, toute réunion finie ou toute intersection quelconque de parties compactes est compacte.
Une partie d'un ensemble ordonné est bornée si elle admet à la fois un majorant et un minorant dans l'ensemble ordonné. En dehors du cas où la partie elle-même contient un majorant et un minorant, cette définition dépend donc a priori du reste de l'ensemble ordonné.
Pour montrer qu'un ensemble E est un e.v., il suffit généralement de montrer que E est un s.e.v. d'un autre e.v. bien connu (ex. : fonctions ayant une certaine propriété, matrices d'une forme particuli`ere, ...) ou une variante (u + v ∈ E et λu ∈ E, ou : λu + µv ∈ E).
Une suite est convergente si elle tend vers un nombre fini ; une suite est divergente si elle tend vers l'infini ou si elle n'a pas de limite.
L'espace vectoriel E s'appelle alors la direction de l'espace affine E . Un espace affine peut être vu comme un espace vectoriel dont on a oublié l'origine. Pour A∈E A ∈ E , ⃗u∈E u → ∈ E et B=A+⃗u B = A + u → , on note ⃗u=−−→AB u → = A B → .
— Un ensemble F est fermé de (X, d) si et seulement si pour toute suite conver- gente (xn)n≥1 ⊂ F on a limn→∞ xn ∈ F. — x ∈ A dans (X, d) si et seulement si il existe une suite (xn)n≥1 ⊂ A telle que xn −→ x.
On dit que A est un ensemble compact si, muni de la topologie induite par celle de E, il devient un espace compact. Par exemple, tous les sous-ensembles finis d'un espace topologique quelconque sont des ensembles compacts.
Un espace métrique est complet si et seulement si toute suite décroissante de fermés non vides dont la suite des diamètres tend vers 0 a une intersection non vide (voir Théorème des fermés emboîtés).
L'ensemble des entiers naturels est l'ensemble N des entiers positifs ou nuls : 0;1;2;... L'ensemble des entiers relatifs est l'ensemble Z des entiers positifs ou nuls et des entiers négatifs : ...;−3;−2;−1;0;1;2;3;...
Pour déterminer le sens de variation d'une suite (un), on peut utiliser l'une des règles suivantes : a) On étudie le signe de la différence un+1 − un. ▶ Si un+1 − un est positive, alors la suite (un) est croissante. ▶ Si un+1 − un est négative, alors la suite (un) est décroissante.
Re : Suite strictement positive
L'idée d'une démonstration par récurrence est simple : Il faut montrer que si une propriété est vraie pour un certain rang, alors elle est vrai pour le rang suivant. Si en plus elle est vraie pour le premier rang (ici n=0), alors cette propriété est vraie.
Divergente 4 annulé en raison de l'échec du troisième opus
Les aventures de Tris, personnage incarné par Shailene Woodley, ne connaîtront pas de suite.
Remarque. Pour montrer que les sous-espaces vectoriels F et G sont supplémentaires, il suffit de montrer que F ∩ G = {0} et dimF + dimG = dimE. dim(F + G) = dimF + dimG − dim(F ∩ G). dim(F + G) = dimF + dimG − dim(F ∩ G).
Une base de l'espace est formée de trois vecteurs non coplanaires. Un repère de l'espace est constitué d'un point et d'une base de l'espace. La somme des vecteurs et est le vecteur dont les coordonnées sont la somme des coordonnées de et : . Soit k un réel quelconque.
Pour démontrer que deux sous-espaces F et G sont en somme directe, on vérifie simplement que F∩G={0} F ∩ G = { 0 } (voir cet exercice).
Si l'on veut trouver l'ensemble de définition, autrement dit l'ensemble des x, il suffit de lire graphiquement l'ensemble des abscisses des points de la courbe représentant f.
La connexité est une notion de topologie qui formalise le concept d'« objet d'un seul tenant ». Un objet est dit connexe s'il est fait d'un seul « morceau ». Dans le cas contraire, chacun des morceaux est une composante connexe de l'objet étudié.
Qui est lié à quelque chose d'autre par des rapports étroits, par la similitude ou la dépendance : Sciences connexes. 2. Se dit d'un espace topologique dont on ne peut pas faire une bipartition à l'aide de deux ouverts non vides.