Un anneau unitaire est un triplet noté (A,+,×) indiquant qu'on a muni l'ensemble A de deux opérations (appelées addition et multiplication) qui se comportent comme celles des entiers relatifs au sens précis suivant : A muni de l'addition est un groupe abélien, la multiplication est associative, distributive par rapport ...
Un idéal I d'un anneau A est dit principal s'il est engendré par un seul élément : il existe a ∈ I tel que I = aA = 〈a〉. Un anneau A est dit principal si tout idéal de A est principal.
On dit que (A, +, ˆ) est un anneaux lorsque : ‚ (A, +) est un groupe commutatif. ‚ ˆ est associative et distributive sur +. ‚ Il y a dans A un élément neutre pour ˆ. Si de plus ˆ est commutative, on dit que (A, +, ˆ) est un anneau commutatif.
L'anneau A est euclidien pour |N| si et seulement si pour tout élément k du corps, il existe au moins un élément q de l'anneau tel que |N(k – q)| < 1. En effet, pour tous b ≠ 0, a et q dans A, |N(a – bq)| < |N(b)| équivaut (par multiplicativité de N) à |N(a/b – q)| < 1, or K est le corps des fractions de A.
Si B est un sous-anneau d'un anneau commutatif A et a un élément de A, le sous-anneau engendré par B ∪ {a} se note B[a]. C'est l'image du morphisme d'évaluation : B[X] → A, P(X) ↦ P(a). Il est donc isomorphe au quotient de l'anneau de polynômes B[X] par le noyau de ce morphisme.
Définition 1.1.1. Un anneau (resp. anneau commutatif) est un groupe abélien (A,+) muni d'une seconde opération m : A×A → A, notée multipli- cativement (i.e. le plus souvent sans symbole : m(a, b) = ab ou avec un point si besoin), qui est associative (resp.
Z est un anneau intègre : il est commutatif, et le produit de deux entiers relatifs est nul si et seulement si l'un de ces deux entiers est nul. l'exemple précédent montre que M2(R) M 2 ( R ) n'est pas un anneau intègre.
Un idéal P d'un anneau commutatif A est appelé un idéal premier lorsque P est une partie stricte de A et, pour tous x, y de A, quand le produit xy est dans P, alors x appartient à P ou y appartient à P. Cette condition équivaut à demander à l'anneau-quotient A/P d'être intègre.
Les idéaux de l'anneau K[X]/ < P > sont les < Q >/< P > tels que Q|P. Ainsi, si P est irréductible, K[X]/ < P > n'a donc pour idéaux que {0} et lui-même, c'est donc un corps. Réciproquement, si K[X]/ < P > est un corps, P est irréductible.
Les idéaux maximaux de Z/nZ sont les pZ/nZ, avec p|n premier. Exemple. Les idéaux de Z/8Z sont {0},2Z/8Z,4Z/8Z,Z/8Z et son seul idéal maximal est 2Z/8Z. automorphisme est réalisé par σ : x → (σ(x) :→ xy).
Définition 11.1.1 Soit I un idéal de A. On dit que I est premier s'il est différent de A et vérifie la condition suivante : Si a ∈ I et b ∈ I alors ab ∈ I. Ou, de façon équivalente (en prenant la contraposée) : si ab ∈ I alors a ∈ I ou b ∈ I.
Si A est un anneau, on dit qu'un élément a de A est inversible s'il existe b de A tel que ab=ba=1 a b = b a = 1 . Un tel élément b est alors unique et est appelé inverse de a . L'ensemble des éléments inversibles de A forme un groupe, appelé groupe des éléments inversibles (ou groupe des unités) de A .
L'ensemble (ℤ, +, ×) n'est pas un corps car la plupart des éléments non nuls de ℤ ne sont pas inversibles : par exemple, il n'existe pas d'entier relatif n tel que 2n = 1 donc 2 n'est pas inversible.
18 et 49 sont premiers entre eux, et donc ¯¯¯¯¯¯18 18 ¯ est inversible dans Z/49Z Z / 49 Z . Pour trouver son inverse, il faut résoudre l'équation de Bezout 18u+49v=1 18 u + 49 v = 1 . Avec l'algorithme d'Euclide ou un logiciel, on trouve que 7×49−19×18=1 7 × 49 − 19 × 18 = 1 .
IDÉAL2, -ALS ou -AUX, subst. masc. 1. Ce que l'on conçoit comme conforme à la perfection et que l'on donne comme but ou comme norme à sa pensée ou son action dans quelque domaine que ce soit.
Une loi de composition interne sur E est une application de E × E dans E. Si on la note E × E −→ E (a, b) ↦− → a ∗ b , on parle de la loi ∗ et on dit que a ∗ b est le composé de a et b pour la loi ∗.
En algèbre, un anneau est un ensemble muni de deux lois de composition interne appelées addition et multiplication, qui vérifient des propriétés analogues à celles de ces opérations sur les entiers relatifs.
Définition : Soit f une application de G dans G′ ; on dit que f est un (homo)morphisme de groupes si, pour tous x et y de G , on a : f(x×y)=f(x)×f(y).
L'ensemble Z/nZ est donc muni de deux opérations, une addition et une multiplication, toutes deux commutatives et associatives, et telles que 1 Page 2 — La loi + admet un élément neutre, 0, tel que pour tout x ∈ Z/nZ, x + 0 = x; — Tout élément x de Z/nZ admet un opposé noté −x, tel que x + (−x) = 0 (celui-ci est unique ...
Intègre est un terme employé pour qualifier quelqu'un d'entier, honnête, qui est incorruptible et qui est sans failles.
Articles détaillés : Corps commutatif et Corps fini. ℤ/nℤ est un corps si et seulement si n est un nombre premier.
anneau n.m. Cercle de matière dure, qui sert à retenir quelque chose. anneaux n.m. pl.
Il existe une autre technique, c'est de montrer qu'un sous-ensemble d'un groupe est lui-même un groupe : c'est la notion de sous-groupe. Soit (G,⋆) un groupe. Une partie H ⊂ G est un sous-groupe de G si : – e ∈ H, – pour tout x, y ∈ H, on a x⋆ y ∈ H, – pour tout x ∈ H, on a x−1 ∈ H.