Théorème et définition : Si (un) converge vers ℓ1 et si (un) converge vers ℓ2 , alors ℓ1=ℓ2 ℓ 1 = ℓ 2 . Ce réel s'appelle alors la limite de la suite (un) et on note limn→+∞un=ℓ. lim n → + ∞ u n = ℓ . Proposition : toute suite convergente est bornée.
Toute suite convergente est bornée. Preuve. Soit (sn) une suite qui converge vers s ∈ R. En appliquant la définition à ε = 1, nous voyons qu'il existe N ∈ N tel que pour tout n>N, |sn −s| < 1, ce qui implique alors que |sn|≤|s|+1 .
Fondamental. Propriété : Toute suite convergente est bornée. Donc si une suite n'est pas bornée, elle n'est pas convergente !
Toute suite convergente est par conséquent bornée (par exemple la suite un = (–1)n/(n + 1), qui converge vers 0, reste comprise entre u1 = –1/2 et u0 = 1). Toute suite réelle qui tend vers ±∞ est non bornée (par exemple : un = 2n, qui tend vers +∞).
Pour montrer qu'une suite est majorée, minorée ou bornée, on peut utiliser les méthodes suivantes : > Travailler avec des inégalités ou des inéquations. > Faire une démonstration par récurrence. donc (un) est bornée et pour tout n ∈ N n ≥ 1, un ∈ [1;2[. x +5 définie et dérivable sur [0;+∞[.
Théorème et définition : Si (un) converge vers ℓ1 et si (un) converge vers ℓ2 , alors ℓ1=ℓ2 ℓ 1 = ℓ 2 . Ce réel s'appelle alors la limite de la suite (un) et on note limn→+∞un=ℓ. lim n → + ∞ u n = ℓ . Proposition : toute suite convergente est bornée.
Définition. On dit qu'une suite {a<sub> n</sub> } est minorée s'il existe un nombre k (borne inférieure) tel que pour tout n, on a a <sub>n </sub> ≥ k . On dit qu'une suite {a<sub> n </sub>} est majorée s'il existe un nombre K (borne supérieure) tel que pour tout n, on a a<sub> n </sub> ≤ K.
Si une suite (xn) converge, elle est bornée (il faut le démontrer en montrant que tout élément de la suite, à l'exception d'un nombre fini d'entre eux, est à une distance d'au plus 1 de la limite, puis conclure). En revanche, si xn := (−1)nn (n ≥ 1), alors la suite tend vers 0 à l'infini, mais elle n'est pas monotone.
Une partie A d'un espace métrique borné (E,d) est dite bornée s'il existe x∈E x ∈ E et M>0 tel que A⊂B(x,M), A ⊂ B ( x , M ) , c'est-à-dire que, pour tout x∈A, x ∈ A , d(x,a)≤M.
Theoreme : Toute suite monotone et bornée est convergente. (croissante et majorée ou decroissante et minorée). v u = − qui est croissante.) u n∈N est une partie non vide et majorée de R donc admet une borne superrieur notée l.
La suite {an = (−a)n} est minorée par −1 et majorée par 1, elle est donc bornée. Cependant, cette suite ne converge pas ; puisque |an − an+1| = 2 pour tout n, elle ne satisfait pas le critère de Cauchy et diverge par conséquent. Par ailleurs, nous savons que toute suite convergente est bornée.
Proposition. La suite (un)n de nombres réels converge vers ` ∈ R si et seulement si ∀ε > 0, {n ∈ N, |un − `| > ε} est fini. Preuve. En effet, si ε > 0 et si l'ensemble {n ∈ N, |un − `| > ε} est fini, il existe un N ∈ N tel que {n ∈ N, |un − `| > ε}⊂{0, 1,...,N}.
Ces notes abordent différents types de convergence, notamment la convergence probabiliste, la convergence presque sûre, la convergence distributive et la convergence moyenne . Elles explorent les relations entre ces types, leurs propriétés essentielles et des théorèmes fondamentaux tels que la loi des grands nombres et le théorème central limite.
Les suites convergentes sont bornées (la réciproque n'est pas nécessairement vraie). Autrement dit : si une suite n'est pas bornée, elle ne peut converger (car lorsqu'une suite converge, la distance entre ses termes tend vers zéro ). Un intervalle fermé I est un intervalle égal à son adhérence.
Pour qu'une fonction soit dite « bornée », son image doit posséder une borne inférieure (par exemple, 7 pouces) et une borne supérieure (par exemple, 12 pieds) . Toute fonction non bornée est dite non bornée. Une fonction peut être bornée à une extrémité et non bornée à l'autre.
Donc la suite (un) est stationnaire (au moins) à partir de N. En prime, elle est bien évidemment convergente vers ℓ = a ∈ N. n'a pas de sens. Par contre voilà ce qu'on peut dire : Comme la suite 1/n tend vers 0 quand n → ∞, la suite un est convergente si et seulement si la suite (−1)n l'est.
Voici quelques exemples couramment utilisés de fonctions bornées : , , tan − 1 x , 1 1 + ex et 1 1 + x 2 . Toutes ces fonctions sont des fonctions bornées.
Définitions : Une fonction affine 𝑓 est définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, où 𝑎 et 𝑏 sont deux nombres réels. Lorsque 𝑏=0, la fonction 𝑓 définie par 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 est une fonction linéaire. Propriété : Soit 𝑓 une fonction affine définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏. Si 𝑎>0, alors 𝑓 est croissante.
Une suite est dite bornée s'il existe des nombres réels tels que m < an < M pour tout n ∈ ℝ. Une suite est dite non bornée si elle n'est pas bornée . Une suite est dite majorée s'il existe un n tel que an < M pour tout n ∈ ℝ ; elle est minorée s'il existe un n tel que m < an pour tout n ∈ ℝ.
Théorème de Balzano
Le théorème de Bolzano est un cas particulier du théorème des valeurs intermédiaires. Ce théorème stipule que si une fonction est continue sur un intervalle fermé, et que ses dérivées (f₁, f₂) et (f₃, f₄) sont de signes opposés, alors il existe au moins une valeur de x pour laquelle f₁ = f₂ . Cette valeur de x est généralement notée « c » dans de nombreux ouvrages.
Les principaux outils pour calculer le rayon de convergence sont le critère du rapport et le critère de la racine . En particulier, si L=limn→∞|an+1an| ou L=limn→∞|an|1/n, alors le rayon de convergence est 1L.
Autrement dit : une suite est non bornée s’il n’existe aucun entier naturel M tel que |a_n| < M. C’est globalement correct, mais attention aux quantificateurs logiques. On veut dire qu’il n’existe aucun entier naturel M tel que, pour tout indice n, |a_n| < M. (Ici, « < » peut être remplacé par « ≤ ».)
Le domaine solution d'un système d'inégalités linéaires est dit borné s'il peut être inscrit dans un cercle. Dans le cas contraire, il est dit non borné . L'exemple précédent présentait un domaine solution non borné car il s'étendait à l'infini vers la gauche (et vers le haut et vers le bas).
Si f est une fonction continue sur un intervalle fermé borné [a, b] alors f est bornée sur [a, b] et atteint ses bornes sur [a, b]. |f(xnk )| = +∞. f(α) = sup{f(x) / x ∈ [a, b]} et f(β) = inf{f(x) / x ∈ [a, b]}.