Une partie K de E est dite compacte si, de toute suite (un) d'éléments de K , on peut extraire une sous-suite convergente vers un élément de K . En particulier, toute réunion finie ou toute intersection quelconque de parties compactes est compacte.
Par définition de ·∞, un ensemble X est borné s'il est inclus dans un pavé [−a,a]N, qui est compact. Si de plus X est fermé, c'est un fermé dans un compact, donc il est compact.
∅ admet une unique topologie, qui est {∅}. Elle est à la fois grossière (donc cet espace topologique est connexe) et discrète (donc cet espace est compact, comme tout espace fini discret).
Un espace topologique séparé est compact si et seulement si toute suite généralisée possède au moins une valeur d'adhérence, autrement dit une sous-suite généralisée convergente. Cette définition équivalente est rarement utilisée. Elle est particulièrement adéquate pour prouver que tout produit de compacts est compact.
On appelle intervalle compact de R un intervalle fermé et borné du type [a,b] avec a ≤ b deux réels.
Une partie K de E est dite compacte si, de toute suite (un) d'éléments de K , on peut extraire une sous-suite convergente vers un élément de K . En particulier, toute réunion finie ou toute intersection quelconque de parties compactes est compacte.
Tout espace métrique fini est compact. L'ensemble R des nombres réels n'est pas compact.
Définition 3.1.1 On dit qe (E,d) est un espace métrique compact si toute suite d'éléments de (E,d) admet une suite extraite convergeant vers un point de E. Une partie A de E est dite compacte si le sous-espace métrique (A, d) est compact.
On appelle espace topologique un couple (X,T ) où X est un ensemble et T une famille de parties de X vérifiant : (T1) ∅∈T , X ∈ T , (T2) Une intersection finie d'éléments de T appartient à T , (T3) Une reunion quelconque d'éléments de T appartient à T .
La topologie discrète sur un ensemble X est celle pour laquelle T = P(X), l'ensemble des parties de X. Autrement dit : toutes les parties sont ouvertes, ou encore : tous les points sont isolés. C'est la topologie la plus fine sur X.
Un ensemble vide est un ensemble qui ne contient aucun élément. On le représente par le symbole ∅ ou par 2 accolades vides : { }. { } .
L'ensemble vide est inclus dans tout ensemble : pour tout ensemble B, ∅ ⊂ B (en effet, puisque ∅ n'a pas d'éléments, il n'est pas possible de trouver un élément de ∅ qui ne soit pas dans B). Pour dire que A est inclus dans B, on dit aussi que A est un sous-ensemble de B, ou encore que A est une partie de B.
B : il est non vide car si on prend n=1, (3+4)/(1+1)=7/2 est bien un réel, cela fait au moins un élément de l'ensemble. On peut aussi dire : quelle que soit la valeur de n, l'expression est définie et est réelle, donc..
2. Si d1 et d2 sont des distances Lipschitz-équivalentes sur un ensemble X, on vérifie que (X,d1) est complet si, et seulement si, (X,d2) l'est. −x − e−y |. Alors l'espace (R,d) n'est pas un espace métrique complet.
Pour démontrer qu'un espace vectoriel normé E est un espace de Banach, la méthode usuelle est la suivante : on considère une suite (xn) de Cauchy de E . on fabrique une limite possible de la suite (xn) , que l'on notera x . Bien souvent, pour ce point, on utilise qu'un autre espace est complet.
— Un ensemble O est ouvert de (X, d) si et seulement si pour toute suite (xn)n≥1 ⊂ X telle que xn −→ x ∈ O, il existe n0 tel que xn ∈ O pour tout n ≥ n0. — Un ensemble F est fermé de (X, d) si et seulement si pour toute suite conver- gente (xn)n≥1 ⊂ F on a limn→∞ xn ∈ F.
Les principales relations topologiques sont l'adjacence, la connectivité, l'inclusion et l'intersection. Ce sont des notions qualitatives et invariantes sous déformation continue.
Deux distances d1 et d2 sur X sont dites topologiquement équivalentes si elles définissent la même topologie (c'est-à-dire qu'elles ont les mêmes ouverts, donc les mêmes fermés, les mêmes compacts). Cela revient à dire que les deux propriétés suivantes sont vérifiées : ∀x∈X, ∀ε>0, ∃α>0, Bd1(x,α)⊂Bd2(x,ε).
Pour montrer que les sous-espaces vectoriels F et G sont supplémentaires, il suffit de montrer que F ∩ G = {0} et dimF + dimG = dimE.
Ainsi ℝ n'est pas compact, puisque la fonction identité, qui à x associe x lui-même, est continue mais non bornée. Ce même ensemble, privé du nombre 0 n'est pas davantage compact, comme on le voit en considérant la fonction inverse qui à x associe 1 /x.
compact adj. Dont les parties sont étroitement serrées et ne se séparent... compact n.m. Appareil de photo compact.
les compacts de R sont les fermés bornés de R. Concretement, ce sont les ensembles fermés inclus dans un ensemble [a,b]. On ne peut pas les lister exhaustivement je pense. Je pense qu'on peut aussi dire que c'est les unions finies d'intervalles férmés.
Un ensemble ordonné (E, ≤) est dit dense en lui-même, ou plus simplement dense, si, pour tout couple (x, y) d'éléments de E tels que x < y il existe un élément z de E tel que x < z < y. Par exemple, tout corps totalement ordonné est dense en lui-même alors que l'anneau ℤ des entiers relatifs ne l'est pas.
La topologie est une branche de la géométrie. Elle se divise elle-même en plusieurs branches : La topologie générale fournit un vocabulaire et un cadre général — une définition axiomatique avec des ensembles — pour traiter des notions de limite, de continuité, et de voisinage.
Une partie d'un espace métrique est dite bornée si la distance entre ses points est majorée par un réel fixé, autrement dit si son diamètre est fini. En ce sens, les bornés de la droite réelle sont bien les parties majorées et minorées, c'est-à-dire les parties incluses dans des intervalles bornés.