Réciproquement, supposons que Kerf = {0}. Soit u, v ∈ E tels que f(u) = f(v), autrement dit f(u) − f(v) = 0. Comme f est linéaire, on a f(u) − f(v) = f(u − v) = 0, donc u − v ∈ Kerf.
f est injective si et seulement si Ker f = {0}. Démonstration : supposons f injective. Soit x ∈ Ker f, alors f(x)=0= f(0) donc x = 0 par définition de l'injectivité. On a donc Ker f = {0}.
Le noyau de f , noté par Ker(f ), est l'ensemble des antécédents du vecteur 0 : Ker(f ) = {x | f (x) = 0} = {x | Ax = 0} = l'ensemble solutions du système Ax = 0 . {y (−1 1 ) | y ∈ R} = 〈 (−1 1 ) 〉. Donc une base est (−1 1 ) .
Pour démontrer que Imf et kerf sont des sous-espaces supplémentaires, il suffit de montrer que leur intersection est réduite au vecteur nul.
Exercice 2 Soit f ∈ L(E) telle que f3 = f2 + f, montrer que E = kerf ⊕ Imf. −→ y = f (−→x) ∈ Imf ∩kerf, il s'agit de prouver que −→ y = −→ 0 . Ainsi −→ y = −→ 0 . est bien la somme d'un élément de kerf et d'un élément de Imf.
Ker est un appellatif toponymique breton utilisé le plus souvent comme premier élément d'un toponyme. Il désigne un lieu habité, un domaine, un hameau. Il est également courant dans les patronymes bretons.
Connaissant la dimension du noyau de \(f\), en appliquant le théorème du rang on peut connaître la dimension de l'image de \(f\). Ce théorème permet en effet d'écrire : \(\dim E=\dim\textrm{Ker}f+\dim\textrm{Im}f\). On a donc \(\dim\textrm{Im}f=\dim E-\dim\textrm{Ker}f=4-2=2\).
L'endomorphisme induit est la double restriction de l'endomorphisme initial avec à la fois un nouvel ensemble de départ et un nouvel ensemble d'arrivée. La condition de stabilité est une condition nécessaire et suffisante pour que cette double restriction soit une application.
Pour montrer que les sous-espaces vectoriels F et G sont supplémentaires, il suffit de montrer que F ∩ G = {0} et dimF + dimG = dimE. dim(F + G) = dimF + dimG − dim(F ∩ G). dim(F + G) = dimF + dimG − dim(F ∩ G).
L'algèbre linéaire est initiée dans son principe par le mathématicien perse Al-Khwârizmî qui s'est inspiré des textes de mathématiques indiens et qui a complété les travaux de l'école grecque, laquelle continuera de se développer des siècles durant.
C'est à dire, cela revient à montrer que : Pour tout v=(vn)n≥0∈RN, il existe u=(un)n≥0∈RN tel que un+1−un=vn pour tout, n≥0. Soit alors, n≥0. Trouve alors un : u=(un)n≥0∈RN tel que : un+1−un=vn pour tout n≥0.
On appelle noyaude la matrice A, noté Ker (A) , l'ensemble des matrices colonnes X ∈ Mq,1(R) telles que AX = (0)p×1 .
On dit que u est linéaire ou que c'est un morphisme si et seulement si : ∀x, y ∈ E, ∀λ, µ ∈ R, u(λx + µy) = λu(x) + µu(y). Lorsque E = F, un morphisme de E dans lui même s'appelle un endomorphisme.
La dimension du noyau est donnée par le nombre de colonnes de M moins le rang de M. Le résolution d'équations différentielles homogènes mène souvent à la détermination du noyau d'une certaine application linéaire.
Définition. On dit qu'une application linéaire f : Rn → Rm est injective si deux vecteurs différents ont des images différents surjective Si Im(f ) atteint tout l'espace d'arrivée Rm. bijective (ou bien un automorphisme) si n = m et que f est inversible.
Définition. Une application linéaire de E dans F est une application f:E → F telle que pour tous vecteurs u, v ∈ E et tout scalaire λ ∈ K, • f(u + v) = f(u) + f(v), • f(λu) = λf(u). Si F = K on dit que f est une forme linéaire.
Soit E l'ensemble des applications de R dans R, F={f appartient à E : f(0)=0} et GcE l'ensemble des fonctions constantes. Montrer que E=F+G et que F et G sont en somme directe. Pour montre que E=F+G, on montre que E inclus dans (F+G) et (F+G) inclus dans E ??
Parfois il est plus facile de m.q. E est s.e.v. en montrant que (a) E = kerf, c-`a-d. E est le noyau d'une certaine application linéaire f : par exemple, {x ∈ R3 | x1 + 2x2 = 0,x2 = x3 } est le noyau de f : R3 → R2; (x, y, z) ↦→ (x + 2y, y − z).
Pour trouver une base d'un sous-espace vectoriel F , on peut : chercher une famille génératrice B de F ; si B est libre, c'est terminé, sinon, un des vecteurs peut s'exprimer en fonction des autres. On le supprime et on recommence jusqu'à trouver une famille libre.
La matrice M est diagonalisable si et seulement si la somme des multiplicités géométriques est égale à la taille de M. Or chaque multiplicité géométrique est toujours inférieure ou égale à la multiplicité algébrique correspondante.
La similitude est une relation d'équivalence. Deux matrices sont semblables si et seulement si elles représentent le même endomorphisme d'un espace vectoriel dans deux bases (éventuellement) différentes.
Pour déterminer/trouver les valeurs propres d'une matrice, calculer les racines de son polynôme caractéristique. Exemple : La matrice 2x2 (d'ordre 2) M=[1243] M = [ 1 2 4 3 ] a pour polynôme caractéristique P(M)=x2−4x−5=(x+1)(x−5) P ( M ) = x 2 − 4 x − 5 = ( x + 1 ) ( x − 5 ) .
Le noyau de f est donc l'ensemble des fonctions polynômes P = b ( e 2 + e 1 − e 0 ) , c'est-à-dire telles que, pour tout réel x , P ( x ) = b ( x 2 + x − 1 ) , b appartenant à R .
En mathématiques, une base d'un espace vectoriel V est une famille de vecteurs de V linéairement indépendants et dont tout vecteur de V est combinaison linéaire. En d'autres termes, une base de V est une famille libre de vecteurs de V qui engendre V.