Une application f : A → A est appelée une 'isométrie' si elle conserve les distances c'est à dire si ∀ (M,N) ∈ A × A on a d(f(M),f(N))=d(M,N). Montrons tout de suite que : Une telle application est nécessairement affine. Fixons une origine et soit u: E → E l'application →OM → →O'M'.
Méthode pour déterminer si une isométrie vectorielle de matrice donnée est directe. Soit f une isométrie vectorielle de matrice M = MatBcan f. Pour déterminer si f est directe ou indirecte, on compare les signes d'un mineur de M et du coefficient naturellement associé. — Supposons m3,3 = 0.
Preuve: immédiate. Soient A,B et C trois points non alignés du plan P et A , B et C trois points du plan P tels que AB = A B , AC = A C et BC = B C . Alors il existe une isométrie f et une seule telle que f(A) = A , f(B) = B et f(C) = C .
Définition analytique des rotations vectorielles
Dans ce cas, on a aussi et , et une rotation est alors exactement une application f : R 2 → R 2 de la forme f ( x , y ) = ( a x − b y , b x + a y ) , avec deux nombres réels tels que a 2 + b 2 = 1 , c'est-à-dire tels que le point est sur le cercle trigonométrique.
isométrie
1. Application définie entre deux espaces affines euclidiens, telle que la distance entre les points images est la même qu'entre les antécédents correspondants.
En géométrie, une isométrie est une transformation qui conserve les longueurs. Une isométrie est donc un cas particulier de similitude. Si cette isométrie conserve aussi les angles orientés, alors ils s'agit d'un déplacement.
une isométrie du plan est un déplacement si elle conserve les angles orientés. Les déplacements sont exactement les translations et les rotations. une isométrie du plan est un antidéplacement si elle transforme un angle orienté en son opposé.
On considère Mn(R) muni du produit scalaire 〈A,B〉 = Tr(tAB). On vérifie que ϕ : M ∈ Mn(R) → tM ∈ Mn(R) est un endomorphisme symétrique. L'endomorphisme ϕ possède deux valeurs propres : −1 et 1 où E1(ϕ), E−1(ϕ) désigne respectivement l'ensemble des matrices symétriques et antisymétriques.
Mouvement d'un corps autour d'un axe fixe ou d'un point fixe, matériel ou non, tel que tous les points de ce corps décrivent un cercle (ou un arc de cercle).
La force maximale isométrique est environ 10 à 15% plus grande que la force maximale concentrique. Elle permet donc créer une plus grande tension musculaire. Faible impact sur la masse musculaire : Il semblerait que l'hypertrophie soit peu présente après un travail en isométrie seul.
4/ Existence et unicité d'une similitude directe
Théorème : Soient A, B, A' et B' quatre points du plan tels que A ≠ B et A' ≠ B'. Alors, il existe une unique similitude directe s telle que : s(A) = A' et s(B) = B'.
Á L'image (D ) d'une droite (D) est une droite telle que : (D ) et (D) forme un angle θ. Remarque : Á Si θ = π 2 alors on a : z = iz + b. Á Si θ = − π 2 alors on a : z = −iz + b.
Des triangles sont isométriques si et seulement si leurs côtés homologues sont isométriques. La condition CCC (Côté-Côté-Côté) n'implique aucune mesure d'angle. En effet, il suffit de montrer que les 3 paires de côtés homologues ont la même mesure pour conclure que les triangles sont isométriques.
L'adjectif isométrique vient du grec (iso signifie « égal » et metron « mesure ») et désigne un élément dont les dimensions sont identiques. En géométrie par exemple, un triangle isométrique est un triangle dont les trois côtés sont égaux.
Ainsi, il se définit par 4 caractéristiques en physique : - Le point d'application (point de départ, d'origine du vecteur) ; - La direction (ou droite d'action) ; - Le sens ; - La norme (sa valeur ou intensité).
Pour prouver que deux points sont symétriques par rapport à une droite (d), il suffit de montrer qu'ils sont à équidistance de la droite et qu'ils se situent sur une même droite perpendiculaire à (d).
Symétrique d'un point
Deux points A et A' sont symétriques par rapport à une droite (d) s'ils se superposent par pliage le long de cette droite. Définition : On dit que le point A' est le symétrique du point A par rapport à une droite (d) si la droite (d) est la médiatrice du segment [AA'].
On considère une fonction 𝑦 = 𝑓 ( 𝑥 ) . Une symétrie par rapport à l'axe des 𝑥 a l'expression algébrique 𝑦 = − 𝑓 ( 𝑥 ) et une symétrie par rapport à l'axe des 𝑦 est représentée par 𝑦 = 𝑓 ( − 𝑥 ) . Une double symétrie par rapport à l'axe des 𝑥 ou l'axe des 𝑦 retourne la fonction d'origine.
On appelle symétrie glissée une transformation géométrique qui permet d'associer à toute figure initiale une figure image en effectuant une réflexion suivie d'une translation parallèle à l'axe de réflexion. Dans l'image ci-dessous, on effectue une réflexion du triangle ABC par rapport à l'axe de réflexion S.
En géométrie, un déplacement est une transformation qui garde les propriétés de la forme initiale déplacée. Un déplacement conserve les formes (une droite donne une droite, un carré donne un carré, etc.). Il conserve les mesures (longueurs, angles, aires).
Commencer par montrer que (gof) est un antidéplacement Or (gof(C ))=C signifie que (gof) fixe C. Ce qui permet de conclure que (gof) est une symétrie orthogonale par rapport à une droite passant par C Mais on a aussi (gof) fixe D. On conclut que (gof) est la symétrie orthogonale d'axe (CD).